Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x
n
− 1, n
n.
(x − 1) = x − 1,
(x
2
− 1) = (x − 1)(x + 1),
(x
3
− 1) = (x − 1)(x
2
+ x + 1),
(x
4
− 1) = (x − 1)(x + 1)(x
2
+ 1),
(x
5
− 1) = (x − 1)(x
4
+ x
3
+ x
2
+ x + 1),
(x
6
− 1) = (x − 1)(x + 1)(x
2
+ x + 1)(x
2
− x + 1),
.............................................................................................
n
x
n
−1, x
105
−1
x
48
+ x
47
+ x
46
−x
43
−x
42
−2x
41
−
x
40
−x
39
+ x
36
+ x
35
+ x
34
+ x
33
+ x
32
+ x
31
−x
28
−x
26
−x
22
−x
20
+
x
17
+x
16
+x
15
+x
14
+x
13
+x
12
−x
9
−x
8
−2x
7
−x
6
−x
5
−x
2
+x+1,
ëèøü ãèïîòåçîé, ïîêà îí íå äîêàçàí òî÷íûì ìàòåìàòè÷åñêèì
ðàññóæäåíèåì, îõâàòûâàþùèì âñå ÷àñòíûå ñëó÷àè. Íåïîëíàÿ
èíäóêöèÿ ìîæåò ïðèâåñòè ê îøèáêå.
   Ðàññìîòðèì ïðèìåð. Äâóõ÷ëåí xn − 1, ãäå n - íàòóðàëü-
íîå ÷èñëî, ðàçëîæèì íà ìíîæèòåëè ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè.
Ðàññìîòðèì ýòè ðàçëîæåíèÿ ïðè ìíîãèõ ÷àñòíûõ çíà÷åíèÿõ n.
Âñå êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå íå ïðå-
âîñõîäÿò åäèíèöû Â ñàìîì äåëå,

                                     (x − 1) = x − 1,

                              (x2 − 1) = (x − 1)(x + 1),
                          (x3 − 1) = (x − 1)(x2 + x + 1),
                       (x4 − 1) = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1),
                  (x5 − 1) = (x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1),
           (x6 − 1) = (x − 1)(x + 1)(x2 + x + 1)(x2 − x + 1),
    .............................................................................................
    Ïîïûòêè äîêàçàòü ýòîò ôàêò äëÿ âñÿêîãî n óñïåõà íå èìå-
ëè. Îêàçàëîñü, ÷òî óêàçàííûì ñâîéñòâîì îáëàäàþò âñå äâóõ÷ëå-
íû xn − 1, ñòåïåíü êîòîðûõ ìåíüøå 105. Äâóõ÷ëåí x105 − 1 èìååò
îäèí èç ìíîæèòåëåé, ðàâíûé x48 + x47 + x46 − x43 − x42 − 2x41 −
x40 − x39 + x36 + x35 + x34 + x33 + x32 + x31 − x28 − x26 − x22 − x20 +
x17 + x16 + x15 + x14 + x13 + x12 − x9 − x8 − 2x7 − x6 − x5 − x2 + x + 1,
êîòîðûé íå îáëàäàåò óêàçàííûì âûøå ñâîéñòâîì.
    Ìîæíî ïðèâåñòè ìíîæåñòâî äðóãèõ ïðèìåðîâ, êîòîðûå ïîç-
âîëÿþò ñäåëàòü ïðîñòîé è â òî æå âðåìÿ âàæíûé âûâîä.


                                                 5

Страницы