Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

A(n)
n. 1
◦
. A(n)
n = n
0
≥ 1; 2
◦
. n = k ≥ n
0
A(k) A(k + 1), A(n)
n ≥ n
0
.
n = n
0
≥ 1
n = k + 1
n = k, k
n
0
   Óòâåðæäåíèå ìîæåò áûòü ñïðàâåäëèâûì â öåëîì ðÿäå ñëó-
÷àåâ è â òî æå âðåìÿ íåñïðàâåäëèâûì âîîáùå.
   Òåïåðü âîçíèêàåò âîïðîñ. Èìååòñÿ óòâåðæäåíèå, ñïðàâåäëè-
âîå â íåñêîëüêèõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ. Âñå ÷àñòíûå ñëó÷àè ðàññìîò-
ðåòü íåâîçìîæíî. Êàê æå óçíàòü, ñïðàâåäëèâî ëè óòâåðæäåíèå
âîîáùå? Ýòîò âîïðîñ èíîãäà óäàåòñÿ ðåøèòü ïîñðåäñòâîì ïðè-
ìåíåíèÿ îñîáîãî ìåòîäà ðàññóæäåíèé, íàçûâàåìîãî ìåòîäîì ìà-
òåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.
    îñíîâå ýòîãî ìåòîäà ëåæèò ïðèíöèï, çàêëþ÷àþùèéñÿ â
ñëåäóþùåì:
   Ïóñòü A(n) - ïðåäëîæåíèå (óòâåðæäåíèå), çàâèñÿùåå îò íà-
òóðàëüíîãî ÷èñëà n. Òîãäà, åñëè 1◦ . A(n) ñïðàâåäëèâî ïðè
n = n0 ≥ 1; 2◦ . äëÿ ëþáîãî n = k ≥ n0 èç ñïðàâåäëèâîñòè
A(k) ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü A(k + 1), òî ïðåäëîæåíèå A(n)
ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ n ≥ n0 .
   Èòàê, ïðè ïîëüçîâàíèè ýòîé òåîðåìîé ìû äîëæíû ïðîâåðèòü
âûïîëíåíèå äâóõ óñëîâèé:
   1) Ïðåäëîæåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ n = n0 ≥ 1 (ýòî áàçèñ
èíäóêöèè),
   2) Ïðåäëîæåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ n = k + 1 åñëè îíî ñïðà-
âåäëèâî äëÿ n = k, ãäå k - ïðîèçâîëüíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî
íå ìåíüøåå n0 (ýòî èíäóêöèîííûé øàã).
   Á. Êîíòðîëüíûå âîïðîñû è çàäàíèÿ.
   1. Ïðèâåäèòå ïðèìåðû äåäóêòèâíîãî è èíäóêòèâíîãî ðàñ-
ñóæäåíèé.
   2. ×òî íàçûâàåòñÿ ïîëíîé èíäóêöèåé? Ïðèâåñòè ïðèìåð.
   3. Ïðèâåäèòå ïðèìåð íåïîëíîé èíäóêöèè, êîòîðàÿ ïðèâîäèò
ê îøèáî÷íûì âûâîäàì.

                             6

Страницы