Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

e) lim
n→∞
(
√
n
2
+ 3n −
√
n
2
− 3); f) lim
n→∞
3
√
n[
3
√
n
2
−
3
q
n(n − 1)].
[ a) 2; b) −
1
2
; c) 0; d) 1; e)
3
2
; f)
1
3
].
{
2
n
+(−2)
n
2
n
}
{
2
n
+(−2)
n
3
n
}
[ 0 ].
z
0
{z
n
} lim
n→∞
z
n
= z
0
, ∀ ε >
0 ∃ n
ε
∀ n > n
ε
| z
n
− z
0
| < ε .
{z
n
}
lim
n→∞
z
n
= ∞, ∀ M > 0 ∃ n
0
∀ n > n
0
| z
n
| > M .
{z
n
}, z
n
= x
n
+iy
n
z
0
= x
0
+ iy
0
.
{z
n
} z
0
{x
n
}, {y
n
}, Rez
0
= a, Imz
0
= b,
        √         √                 √ √      q
                                        3
e) lim ( n2 + 3n − n2 − 3); f ) lim 3 n[ n2 − 3 n(n − 1)].
   n→∞                                       n→∞
                 1                           3
[ a) 2;   b) −   2
                   ;   c) 0;   d) 1;    e)   2
                                               ;   f ) 13 ].
                                                         n +(−2)n
   4. Äîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { 2                     2n
                                                                    } íå èìååò
                                         n +(−2)n
ïðåäåëà, à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü { 2            3n
                                                    } èìååò ïðåäåë. ×åìó
îí ðàâåí? [ 0 ].


 3.5. Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.

   À. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ.
    1. ×èñëî z0 íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîì-
ïëåêñíûõ ÷èñåë {zn } è ïèøóò lim zn = z0 , åñëè äëÿ ∀ ε >
                               n→∞
0 ∃ nε òàêîå, ÷òî ïðè ∀ n > nε âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
| zn − z0 | < ε .
   2. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {zn } íàçûâàþò ñõîäÿùåéñÿ ê áåñêî-
íå÷íîñòè è ïèøóò lim zn = ∞, åñëè äëÿ ∀ M > 0 ∃ n0 òàêîå,
                  n→∞
÷òî äëÿ ∀ n > n0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî | zn | > M .
   Á. Êîíòðîëüíûå âîïðîñû è çàäàíèÿ.
   1. Äàéòå ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ïîíÿòèÿì ïðåäåëà
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ê áåñêî-
íå÷íîñòè èç ïðåäûäóùåãî ïóíêòà.
   2. Ïóñòü çàäàíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {zn }, ãäå zn = xn +iyn
è z0 = x0 + iy0 . Äîêàæèòå, ÷òî íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì
óñëîâèåì ñõîäèìîñòè {zn } ê z0 ÿâëÿåòñÿ ñõîäèìîñòü ïîñëå-
äîâàòåëüíîñòåé {xn }, è {yn }, ê Rez0 = a,         Imz0 = b,
ñîîòâåòñòâåííî.


                                   48

Страницы