Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

lim
n→∞
z
n
= z
0
6= ∞, lim
n→∞
w
n
= w
0
6= ∞.
a) lim
n→∞
(z
n
+ w
n
) = z
0
+ w
0
; b) lim
n→∞
(z
n
· w
n
) = z
0
· w
0
;
c) lim
n→∞
(
z
n
w
n
) =
z
0
w
0
, w
0
6= 0, ∞.
{z
n
},
{z
n
},
z
n
= (−1)
n
+ i
2−n
2+n
,
| z
n
| =
=
q
1 + (2 − n)
2
/(2 + n)
2
=
q
1 + (1 − 2n/(2 + n))
2
=
=
q
1 + 1 − 4n/(2 + n) + (2n/(2 + n))
2
≤ 6 .
{z
n
}.
x
n
= (−1)
n
.
{y
n
}
lim
n→∞
y
n
= lim
n→∞
2−n
2+n
= −1 {z
n
}
z
2k
= (−1)
2k
+ i
2−2k
2+2k
= 1 +
i
1−k
1+k
; z
2k−1
= (−1)
2k−1
+ i
2−2k+1
2+2k+1
= −1 + i
3−2k
3+2k
.
1 − i −1 − i
ϕ −
lim
n→∞
(1 + i
ϕ
n
)
n
= cos ϕ + i sin ϕ = e
iϕ
.
   3. Ïóñòü lim zn = z0 6= ∞, lim wn = w0 6= ∞. Äîêàçàòü,
            n→∞                n→∞
÷òî:
a) lim (zn + wn ) = z0 + w0 ;
     n→∞
                              b) lim (zn · wn ) = z0 · w0 ;
                                             n→∞

c)    lim ( zn )   =   z0
                          ,   ãäå w0 6= 0, íî ìîæåò ñîâïàäàòü ñ ∞.
     n→∞ wn            w0

   4. Ñôîðìóëèðóéòå îïðåäåëåíèÿ îãðàíè÷åííîñòè è íåîãðàíè-
÷åííîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {zn }, à òàêæå äàéòå èõ ãåîìåò-
ðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ.
     Â. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷.
     Ïðèìåð 34. Ïîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {zn }, ãäå
               2−n
zn = (−1)n + i 2+n , îãðàíè÷åíà, íî ðàñõîäèòñÿ.
     Ðåøåíèå.             Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì      | zn | =
     q                                 q
=        1 + (2 − n)2 /(2 + n)2 =        1 + (1 − 2n/(2 + n))2 =
     q
=        1 + 1 − 4n/(2 + n) + (2n/(2 + n))2 ≤ 6 .
Îòñþäà ñëåäóåò îãðàíè÷åííîñòü {zn }.
    Òåïåðü ïîêàæåì ðàñõîäèìîñòü. Çäåñü xn = (−1)n . Ïðåäåë
ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íå ñóùåñòâóåò. Ïîýòîìó, äàæå åñëè ñó-
ùåñòâóåò ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {yn } ( â íàøåì ñëó÷àå
               2−n
 lim yn = n→∞
n→∞
           lim 2+n = −1 ) ïðåäåë {zn } íå áóäåò ñóùåñòâîâàòü.
    Çäåñü èç íàøåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî âûäåëèòü äâå
ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñ ÷ëåíàìè: z2k = (−1)2k + i 2−2k
                                                     2+2k
                                                          = 1+
  1−k                2k−1     2−2k+1          3−2k
i 1+k ; z2k−1 = (−1)      + i 2+2k+1 = −1 + i 3+2k . Ýòè ïîäïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòè ñõîäÿòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ê 1 − i è −1 − i
(ïðåäåëüíûå òî÷êè).
     Ïðèìåð 35. Ïóñòü ϕ − äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Äîêàçàòü,
÷òî lim (1 + i ϕn )n = cos ϕ + i sin ϕ = eiϕ .
      n→∞


                                        49

Страницы