Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1
◦
. x {X}.
x {X}
y {Y }, {X}
y = f(x) f : {X} → {Y } {X} −
{Y }
f(x).
{X} ( a, b ),
[ a, b ], [ a, b ) ( a, b ],
[ a, +∞) (−∞, b ],
(−∞, +∞). {X}
2
◦
. y = f(x)
{X}, ∀x
1
, x
2
∈ {X},
x
1
< x
2
f(x
1
) ≤
f(x
2
) (f(x
1
) ≥ f(x
2
)).
∀x
1
, x
2
∈ {X},
x
1
< x
2
f(x
1
) < f(x
2
) (f(x
1
) >
f(x
2
)), y = f(x)
3
◦
. x
y = f (x), y {Y },
                 Ÿ4. Ôóíêöèÿ è å¼ ïðåäåë.

        4.1. Ïîíÿòèå ôóíêöèè. Ïðåäåë ôóíêöèè.

   À. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ.
    1◦ . Ïóñòü x âåùåñòâåííàÿ ïåðåìåííàÿ èç ìíîæåñòâà {X}.
Åñëè êàæäîìó x èç {X} ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå îäíî âåùå-
ñòâåííîå y èç {Y }, òî ãîâîðÿò, ÷òî íà {X} çàäàíà ôóíêöèÿ,
è ïèøóò y = f (x) (ò.å. f : {X} → {Y } ). {X} − íàçûâàåò-
ñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, à ñîâîêóïíîñòü {Y } âñåõ
÷àñòíûõ çíà÷åíèé ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé
ôóíêöèè f (x).
    Ìíîæåñòâî {X} ìîæåò áûòü: èíòåðâàëîì ( a, b ), îòðåçêîì
(ñåãìåíòîì) [ a, b ], ïîëóîòðåçêîì [ a, b ) èëè ( a, b ], ïî-
ëóïðÿìîé [ a, +∞) èëè (−∞, b ], âñåé áåñêîíå÷íîé ïðÿìîé
(−∞, +∞). Ìíîæåñòâî {X} ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ñè-
ñòåìó èíòåðâàëîâ èëè îòðåçêîâ èëè èõ êîìáèíàöèþ, à òàêæå
ñîñòîÿòü èç äèñêðåòíûõ òî÷åê.
    2◦ . Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ íåóáûâàþùåé (íåâîçðàñ-
òàþùåé) íà ìíîæåñòâå {X}, åñëè äëÿ ∀x1 , x2 ∈ {X}, óäîâëåò-
âîðÿþùèõ óñëîâèþ x1 < x2 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî f (x1 ) ≤
f (x2 )      (f (x1 ) ≥ f (x2 )). Íåóáûâàþùèå è íåâîçðàñòàþùèå
ôóíêöèè îáúåäèíÿþòñÿ îäíèì îáùèì íàçâàíèåì: ìîíîòîííûå
ôóíêöèè. Åñëè äëÿ ∀x1 , x2 ∈ {X}, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ
x1 < x2 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî f (x1 ) < f (x2 )      (f (x1 ) >
f (x2 )), òî ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ ñòðîãî ìîíîòîííî
âîçðàñòàþùåé (óáûâàþùåé) ôóíêöèåé.
    3◦ . Åñëè ïîä x ïîíèìàòü ëþáîå çíà÷åíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå
óðàâíåíèþ y = f (x), ãäå y ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî èç {Y }, òî

                               51

Страницы