Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

{Y }
x = f
−1
(y),
f(x). y = f(x)
x = f
−1
(y),
f(f
−1
(y)) = y, f
−1
(f(x)) = x.
y = f(x)
x = f
−1
(y),
4
◦
. x
0
( x
0
∈ {X} x
0
/∈ {X})
{X},
x
0
{X}, x
0
.
b
f(x) x
0
, x → x
0
, ∀ ε > 0 ∃ δ
ε
∀ x,
x ∈ {X}, 0 < | x − x
0
| < δ
ε
,
| f(x) − b | < ε.
b
f(x) x
0
, x
0
{x
n
} x
n
∈ {X}, x
n
6= x
0
{f(x
n
)} b.
lim
x→x
0
f(x) = b f(x) → b
x → x
0
.
f(x) g(x)
x
0
, x
0
, lim
x→x
0
f(x) = b,
lim
x→x
0
g(x) = c. a) lim
x→x
0
[f(x)±g(x)] = b±c; b) lim
x→x
0
[f(x)·
g(x)] = b · c; c) lim
x→x
0
f(x)
g(x)
=
b
c
c 6= 0.
5
◦
.
b
ýòî ñîîòâåòñòâèå îïðåäåëÿåò íà ìíîæåñòâå {Y } íåêîòîðóþ, âî-
îáùå ãîâîðÿ ìíîãîçíà÷íóþ ôóíêöèþ x = f −1 (y), íàçûâàåìóþ
îáðàòíîé ïî îòíîøåíèþ ê ôóíêöèè f (x). Ôóíêöèè y = f (x)
è x = f −1 (y), íàçûâàþòñÿ âçàèìíî îáðàòíûìè.Îíè îáëàäàþò
ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: f (f −1 (y)) = y, f −1 (f (x)) = x. Åñëè
ôóíêöèÿ y = f (x) ìîíîòîííà â ñòðîãîì ñìûñëå, òî ñóùåñòâóåò
îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ x = f −1 (y), òàêæå ñòðîãî ìîíîòîííàÿ â òîì
æå ñìûñëå.
    4◦ . Òî÷êà x0 ( x0 ∈ {X} èëè x0 ∈        / {X}) íàçûâàåòñÿ
ïðåäåëüíîé òî÷êîé ìíîæåñòâà {X}, åñëè â ëþáîé îêðåñòíîñòè
òî÷êè x0 èìåþòñÿ òî÷êè {X}, îòëè÷íûå îò òî÷êè x0 .
    Îïðåäåëåíèå 1. ×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè
f (x) â òî÷êå x0 , ïðè x → x0 , åñëè ∀ ε > 0 ∃ δε òàêîå, ÷òî ∀ x,
óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèÿì x ∈ {X}, 0 < | x − x0 | < δε ,
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî | f (x) − b | < ε.
    Îïðåäåëåíèå 2. ×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè
f (x) â òî÷êå x0 , åñëè ëþáîé ñõîäÿùåéñÿ ê x0 ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè {xn } òàêîé, ÷òî xn ∈ {X}, xn 6= x0 ñîîòâåòñòâóþùàÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà÷åíèé ôóíêöèè {f (xn )} ñõîäèòñÿ ê b.
     ýòîì ñëó÷àå ïèøóò lim f (x) = b èëè f (x) → b ïðè
                           x→x0
x → x0 . Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
    Ïóñòü f (x) è g(x) îïðåäåëåíû â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè
òî÷êè x0 , êðîìå ìîæåò áûòü ñàìîé òî÷êè x0 , è lim f (x) = b,
                                                    x→x0
 lim g(x) = c. Òîãäà: a) lim [f (x)±g(x)] = b±c; b) lim [f (x)·
x→x0                         x→x0                            x→x0
                         f (x)
g(x)] = b · c; c)    lim
                    x→x0 g(x)
                               = cb   ïðè óñëîâèè, ÷òî c 6= 0.
   5◦ . Îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû.
   ×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðàâûì (ëåâûì) ïðåäåëîì ôóíêöèè

                                      52

Страницы