Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

f(x) x
0
, ∀ ε > 0 ∃ δ
ε
> 0 ∀ x
x ∈ {X}, x
0
< x < x
0
+ δ
ε
(x
0
− δ
ε
<
x < x
0
) |f(x) −b| < ε.
lim
x→x
0
+0
f(x) = b f(x
0
+ 0) = b
lim
x→x
0
−0
f(x) = b f(x
0
− 0) = b
6
◦
. x → ∞.
b f(x) x → +∞
[ lim
x→+∞
f(x) = b ], ∀ ε > 0, ∃ A
ε
> 0 ∀ x > A
ε
| f(x) − b | < ε.
lim
x→−∞
f(x).
x
0
.
x
0
,
x → +∞ (x → −∞).
f(x) =
|x|
x
.
x = 0? x = 0
f (x) â òî÷êå x0 , åñëè ∀ ε > 0 ∃ δε > 0 òàêîå, ÷òî ∀ x óäîâëå-
òâîðÿþùåãî óñëîâèÿì x ∈ {X}, x0 < x < x0 + δε (x0 − δε <
x < x0 ) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |f (x) − b| < ε. Îáîçíà-
÷åíèÿ:    lim f (x) = b èëè f (x0 + 0) = b (ñîîòâåòñòâåííî
          x→x0 +0
 lim f (x) = b èëè f (x0 − 0) = b ).
x→x0 −0

   6◦ . Ïðåäåë ôóíêöèè ïðè x → ∞.
    ×èñëî b íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè f (x) ïðè x → +∞
[ lim f (x) = b ], åñëè ∀ ε > 0, ∃ Aε > 0 òàêîå, ÷òî ∀ x > Aε
 x→+∞
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî | f (x) − b | < ε. Àíàëîãè÷íî îïðåäå-
ëÿåòñÿ lim f (x).
          x→−∞
   Á. Êîíòðîëüíûå âîïðîñû è çàäàíèÿ.
    1. Äîêàæèòå ýêâèâàëåíòíîñòü äâóõ îïðåäåëåíèé ïðåäåëà ôóíê-
öèè â òî÷êå x0 .
    2. Äàéòå ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ ïðåäåëà ôóíêöèè.
    3. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë ôóíêöèè â òî÷êå
x0 , òî îí åäèíñòâåííûé.
    4. Ñôîðìóëèðóéòå îòðèöàíèÿ äâóõ îïðåäåëåíèé ïðåäåëà ôóíê-
öèè â òî÷êå.
    5. Ñôîðìóëèðóéòå îïðåäåëåíèå îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ â
òî÷êå íà ÿçûêå ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.
    6. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ èç ñóùåñòâîâàíèÿ îäíîñòîðîííèõ ïðå-
äåëîâ (ïðåäåëà ôóíêöèè) ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà ôóíê-
öèè (îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ)?
    7. Ñôîðìóëèðóéòå äâà îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ôóíêöèè ïðè
x → +∞ (x → −∞).
    8. Äàíà ôóíêöèÿ f (x) = |x|x
                                 . Îïðåäåëåíà ëè îíà â òî÷êå
x = 0? ßâëÿåòñÿ ëè òî÷êà x = 0 ïðåäåëüíîé òî÷êîé îáëàñòè

                              53

Страницы