Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

lim
x→0
f(x) ?
a) y =
q
sin
√
x; b) y = (x + |x|)
√
x sin
2
πx; c) y = (2x)!
a)
sin
√
x ≥ 0, 2kπ ≤
√
x ≤ π + 2kπ, (x ≥ 0) (k =
0, 1, 2, ...). 4k
2
π
2
≤ x ≤ π
2
(1 + 2k)
2
(k = 0, 1, 2, ...).
b) x + |x|
x · sin
2
πx ≥ 0.
x ≥ 0 x = −1, −2, ...
c) 2x = n (n = 1, 2, ...)
{
1
2
, 1,
3
2
, 2,
5
2
, 3, ...}.
a) y = (−1)
x
; b) y = arccos
2x
1+x
2
;
c) y = D(x) =
0, x ,
1, x .
d) y = sgnx =
+1, x > 0,
0, x = 0,
−1, x < 0.
a)
(−1)
x
= ±1
x =
p
2q+1
, p q
y = ±1.
îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè? Ñóùåñòâóåò ëè lim f (x) ?
                                               x→0

   Â. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷.
   Ïðèìåð
     q
          36. Îïðåäåëèòü îáëàñòü
                            √
                                 ñóùåñòâîâàíèÿ ôóíêöèé:
                √
a) y =    sin       x;   b) y = (x + |x|) x sin2 πx; c) y = (2x)!
   Ðåøåíèå. a) Âûðàæåíèå èìååò ñìûñë ïðè óñëîâèè, ÷òî
   √                                  √
sin x ≥ 0, òî åñòü åñëè 2kπ ≤ x ≤ π + 2kπ, (x ≥ 0) (k =
0, 1, 2, ...). Îòñþäà 4k 2 π 2 ≤ x ≤ π 2 (1 + 2k)2 (k = 0, 1, 2, ...).
      b) Âûðàæåíèå x + |x| èìååò ñìûñë âñåãäà, ñëåäîâàòåëü-
íî, ïðîèçâåäåíèå îïðåäåëåíî, åñëè x · sin2 πx ≥ 0. Ðåøàÿ ýòî
íåðàâåíñòâî, íàõîäèì, ÷òî x ≥ 0 è x = −1, −2, ... .
      c) Ýòà ôóíêöèÿ èìååò ñìûñë, åñëè 2x = n (n = 1, 2, ...)
ïîýòîìó îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ åñòü ìíîæåñòâî { 21 , 1, 23 , 2, 25 , 3, ...}.
   Ïðèìåð 37. Îïðåäåëèòü îáëàñòü ñóùåñòâîâàíèÿ è ìíîæå-
                                                                    2x
ñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèé:           a) y = (−1)x ;      b) y = arccos 1+x 2;
              
               0, åñëè x èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî,
c) y = D(x) =
               1, åñëè x ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî.
              
               +1, åñëè x > 0,
              
              
d) y = sgnx =  0, åñëè x = 0,
              
              
                −1, åñëè x < 0.
   Ðåøåíèå. a) Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ñîñòîèò òîëü-
êî èç ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Òàê êàê (−1)x = ±1 òî äåéñòâè-
òåëüíûé êîðåíü ýòîãî óðàâíåíèÿ ñóùåñòâóåò òîëüêî ïðè íå÷¼ò-
                            p
íîì ïîêàçàòåëå êîðíÿ, x = 2q+1 , ãäå p è q öåëûå ÷èñëà. Ïðè
ýòîì y = ±1.



                                     54

Страницы