Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x = −
√
1 − y
2
, (0 ≤ y ≤ 1).
[ 0, +1 ]
x =
√
1 − y
2
, (0 ≤ y ≤ 1).
b) (−∞, +∞) sh x
−∞ +∞, −∞ <
y < +∞
e
2x
−2ye
x
−1 = 0, e
x
= y ±
√
y
2
+ 1.
(+) e
x
> 0
x = Ar sh y = ln(y +
√
y
2
+ 1), (−∞ < y < +∞).
f(x) = sin
1
x
x → 0.
{x
n
}, x
n
=
=
2
π(2n+1)
, (n = 1, 2, 3, ...). n → ∞
f(x
n
) = (−1)
n
x = 0.
”ε −δ
ε
” lim
x→π/2
sin x = 1.
| 1 − sin x |. 1−sin x =
= 2 cos(
π
4
+
x
2
)·sin(
π
4
−
x
2
). x :
¯
¯
¯cos(
π
4
+
x
2
)
¯
¯
¯≤ 1
¯
¯
¯sin(
π
4
−
x
2
)
¯
¯
¯≤
¯
¯
¯
π
4
−
x
2
¯
¯
¯, |1 − sin x| ≤
¯
¯
¯
π
2
− x
¯
¯
¯.
δ
ε
= ε, 0 <
¯
¯
¯
π
2
− x
¯
¯
¯ < δ
ε
| 1 − sin x | < ε. ∀ ε > 0
∃ δ
ε
= ε, ∀ x : 0 <
¯
¯
¯
π
2
− x
¯
¯
¯ < δ
ε
⇒ |1 − sin x| < ε,
lim
x→π/2
sin x = 1.
     √
x = − 1 − y 2 , (0 ≤ y ≤ 1). Àíàëîãè÷íî ïðåäóäóùåìó ñëó÷àþ
íà [ 0, +1 ] ôóíêöèÿ ìîíîòîííî óáûâàåò îò 1 äî 0. Èìååì:
    √
x = 1 − y 2 , (0 ≤ y ≤ 1).
    b) Òàê êàê íà èíòåðâàëå (−∞, +∞) ôóíêöèÿ sh x ìîíî-
òîííî âîçðàñòàåò îò −∞ äî +∞, òî íà èíòåðâàëå −∞ <
y < +∞ ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Èìååì
                                   √
e2x − 2yex − 1 = 0, îòêóäà ex = y ± y 2 + 1. Âûáèðàÿ â ïîñëåä-
íåì ðàâåíñòâå çíàê (+) (òàê êàê ex > 0 ) è ëîãàðèôìèðóÿ,
                               √
ïîëó÷èì x = Arsh y = ln(y + y 2 + 1), (−∞ < y < +∞).
        Ïðèìåð 41. Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) = sin x1 íå èìååò
ïðåäåëà ïðè x → 0.
        Ðåøåíèå. Âîçüì¼ì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn }, ãäå xn =
       2
=   π(2n+1)
            ,   (n = 1, 2, 3, ...). Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðè n → ∞
ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, à ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà-
÷åíèé ôóíêöèè f (xn ) = (−1)n âîâñå íå èìååò ïðåäåëà. Ñëåäî-
âàòåëüíî, äàííàÿ ôóíêöèÿ íå èìååò ïðåäåëà â òî÷êå x = 0.

        Ïðèìåð 42. Íà ÿçûêå ”ε − δε ” ïîêàçàòü, ÷òî lim sin x = 1.
                                                               x→π/2

        Ðåøåíèå. Îöåíèì ðàçíîñòü | 1 − sin x | . Èìååì
                                                  ¯
                                                       1 − sin
                                                             ¯
                                                               x=
                                                               ¯          ¯
= 2 cos( π4 + x2 )·sin( π4 − x2 ). Òàê êàê äëÿ ëþáîãî x : ¯cos( π4 + x2 )¯ ≤ 1
    ¯             ¯    ¯       ¯                       ¯       ¯
    ¯             ¯    ¯       ¯                       ¯       ¯
è ¯sin( π4 − x2 )¯ ≤ ¯ π4 − x2 ¯ ,    òî |1 − sin x| ≤ ¯ π2 − x¯ . Ñëåäîâàòåëü-
                                                           ¯      ¯
                                                           ¯      ¯
íî, åñëè δε = ε, òî èç               íåðàâåíñòâà 0 < ¯ π2 − x¯ < δε ñëåäóåò
íåðàâåíñòâî | 1 − sin x¯ | < ε.
                             ¯
                                Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ∀ ε > 0
                       ¯π    ¯
∃ δε = ε, ∀ x : 0 < ¯ 2 − x¯ < δε ⇒ |1 − sin x| < ε, òî åñòü
 lim sin x = 1.
x→π/2



                                           56

Страницы