Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

7. lim
x→∞
3
√
x
³
3
q
(x + 4)
2
−
3
q
(x − 1)
2
´
;
h
10
3
i
.
8. lim
x→0
[(1 + mx)
n
− (1 + nx)
m
]
x
2
; m, n ∈ N;
"
mn(m − n)
2
#
.
9. lim
x→0
m
√
1 + ax −
n
√
1 + bx
x
; m, n ∈ N;
"
a
m
−
b
n
#
.
10. lim
x→0
m
√
1 + ax ·
n
√
1 + bx − 1
x
;
"
a
m
+
b
n
#
.
11. lim
x→1
x + x
2
+ ... + x
n
− n
1 − x
;
"
−
n(n − 1)
2
#
.
f(x)
/
g(x)
. lim
x→x
0
f(x) = 0
lim
x→x
0
g(x) = 0,
f(x)
/
g(x)
x → x
0
0
0
. x
0
±∞.
∞
∞
, 0 · ∞, ∞ − ∞, ∞
0
, 0
0
, 1
∞
.
” ”
         √  ³q           q          ´ h i
7. lim   3
           x 3 (x + 4)2 − 3 (x − 1)2 ; 10
                                        3
                                          .
   x→∞
                                            "            #
       [(1 + mx)n − (1 + nx)m ]                  mn(m − n)
8. lim                2
                                  ; m, n ∈ N ;             .
   x→0              x                                2
         √           √                         "       #
         m
           1 + ax − n 1 + bx                     a   b
9. lim                       ; m, n ∈ N ;          −     .
   x→0            x                              m n
          √          √              "        #
          m
            1 + ax · n 1 + bx − 1     a    b
10. lim                           ;      +     .
     x→0             x                m n
                              "            #
        x + x2 + ... + xn − n     n(n − 1)
11. lim                       ; −          .
    x→1        1−x                   2

            4.2. Ðàñêðûòèå íåîïðåäåëåííîñòåé.

   À. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ.
   Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x)/g(x).        Åñëè    lim f (x) = 0 è
                                                 x→x0
 lim g(x) = 0, òî ïðåäåë ôóíêöèè f (x)/g(x) ïðè x → x0 íåëüçÿ
x→x0
íàéòè ïîëüçóÿñü òåîðåìîé î ïðåäåëå îòíîøåíèÿ, òàê êàê ïðåäåë
çíàìåíàòåëÿ ðàâåí íóëþ.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî èìååòñÿ
íåîïðåäåë¼ííîñòü âèäà 00 . Çäåñü x0 ìîæåò áûòü êîíå÷íûì
÷èñëîì èëè ±∞. Àíàëîãè÷íî ââîäÿòñÿ ñèìâîëè÷åñêèå îáîçíà-
÷åíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé ∞  ∞
                              , 0 · ∞, ∞ − ∞, ∞0 , 00 , 1∞ .
 òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà èìååò ìåñòî íåîïðåäåë¼ííîñòü, äëÿ âû-
÷èñëåíèÿ ïðåäåëà  ”ðàñêðûòèÿ íåîïðåäåë¼ííîñòè”  ïðåîáðà-
çîâûâàþò îòíîøåíèå òàê, ÷òîáû ïîëó÷èòü âîçìîæíîñòü åãî âû-
÷èñëèòü. Äëÿ òàêèõ ïðåîáðàçîâàíèé èñïîëüçóþòñÿ èëè òîæäå-
ñòâåííûå ñîîòíîøåíèÿ, ëèáî ñðàâíåíèå ïîâåäåíèÿ ôóíêöèé ïðè
ñòðåìëåíèè àðãóìåíòà ê ïðåäåëüíîé òî÷êå.

                                  58

Страницы