Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

π < x <
3π
2
,
√
1 + cos x =
q
2 cos
2
x
2
=
= −
√
2 cos
x
2
. lim
x→π+0
√
1 + cos x ·tg
x
2
= lim
x→π+0
(−
√
2 cos
x
2
·tg
x
2
) =
= −
√
2.
∞
0
, 0
0
, 1
∞
lim
x→x
0
u(x)
v(x)
= lim
x→x
0
e
v(x)·ln u(x)
=
e
lim
x→x
0
[v(x)·ln u(x)]
. u(x) > 0,
lim
x→+0
x
x
0
0
lim
x→+0
x
x
= lim
x→+0
e
x·ln x
= e
lim
x→+0
x·ln x
. x =
2
−α
. x → +0 α → +∞.
lim
x→+0
x ln x = lim
α→+∞
−α ln 2
2
α
= 0. lim
x→+0
x
x
=
lim
x→+0
e
0
= 1.
”ε − A
ε
”
a) lim
x→−∞
a
x
= 0 a > 1; b) lim
x→±∞
a
x
= +∞ 0 < a < 1
A
ε
; c) a > 1 lim
x→+0
log x = −∞.
”ε − δ
ε
”
lim
x→+0
x
k
log
a
x = 0, (a > 1, k > 0).
y = x
2
. x → 2, y → 4.
δ |x − 2| < δ |y −4| < ε =
0, 001? [ δ <
√
4 + ε − 2; δ < 0, 00025 ].
                                                       √                   q
     Ðåøåíèå. Åñëè π < x <                 3π
                                            2
                                              ,   òî    1 + cos x = 2 cos2 x2 =
   √                          √                                  √
= − 2 cos x2 .         lim        1 + cos x · tg x2    = lim (− 2 cos x2 · tg x2 ) =
                      x→π+0                                x→π+0
   √
= − 2.
     Ðàñêðûòèå íåîïðåäåëåííîñòåé òèïà ∞0 , 00 , 1∞ ïðîèçâî-
äèòñÿ , ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé lim u(x)v(x) = lim ev(x)·ln u(x) =
                                            x→x0                    x→x0
 lim [v(x)·ln u(x)]
ex→x0
             . Çäåñü u(x) > 0, ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ íåïðå-
ðûâíà (÷òî áóäåò ðàññìîòðåíî ïîçäíåå).

     Ïðèìåð 48. Âû÷èñëèòü lim xx (íåîïðåäåë¼ííîñòü òèïà 00 ).
                                        x→+0
                                                           lim x·ln x
     Ðåøåíèå. lim xx = lim ex·ln x = ex→+0                              . Ïîëîæèì x =
                      x→+0          x→+0
 −α
2 . Òîãäà óñëîâèå x → +0 ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ α → +∞.
Òîãäà lim x ln x = lim −α2αln 2 = 0. Ñëåäîâàòåëüíî lim xx =
         x→+0                α→+∞                                              x→+0
lim e0 = 1.
x→+0

  Ã. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáî-
òû.
     1. Ñ ïîìîùüþ ”ε − Aε ” ðàññóæäåíèé äîêàçàòü:
a)      lim ax = 0 ïðè a > 1; b)                  lim ax = +∞ ïðè 0 < a < 1
      x→−∞                                        x→±∞

è íàéòè Aε ; c) ïðè a > 1                  lim log x = −∞.
                                          x→+0

     2. Ñ ïîìîùüþ ”ε − δε ” ðàññóæäåíèé äîêàçàòü, ÷òî
 lim xk loga x = 0, (a > 1, k > 0).
x→+0

    3. Äàíî y = x2 . Êîãäà x → 2, òî y → 4. Êàêîâî
äîëæíî áûòü δ ÷òîáû èç |x − 2| < δ ñëåäîâàëî |y − 4| < ε =
             √
0, 001? [ δ < 4 + ε − 2; δ < 0, 00025 ].

                                            60

Страницы