Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

y =
x
2
−1
x
2
+1
. x → 2 y →
3
5
.
δ |x − 2| < δ
¯
¯
¯y −
3
5
¯
¯
¯ <
0, 1? [ δ < 2 −
√
3 ].
y =
x−1
2(x+1)
. x → 3 y →
1
4
.
δ |x − 3| < δ
¯
¯
¯y −
1
4
¯
¯
¯ <
0, 01? [ δ <
2
13
].
sin x x →
π
2
. x
x =
π
2
, 1 − sin x <
0, 01? [
¯
¯
¯x −
π
2
¯
¯
¯<
π
2
− arcsin 0, 99 = 0, 133 ].
x y =
1
x
2
+1
lim
x→∞
1
x
2
+1
= 0. A
ε
,
|x| > A
ε
y < ε? [ A
ε
≥
q
1
ε
− 1,
ε < 1
x → +∞, y =
x
2
−1
x
2
+3
→ 1.
A
ε
, |x| > A
ε
|y − 1| < ε?
h
A
ε
≥
q
4
ε
− 3, ε <
4
3
i
.
a) lim
x→+∞
(
√
x
2
− 2x −x); b) lim
x→−∞
(
√
x
2
+ 1 + x);
c) lim
x→0
3
3
√
1 + x − 4
4
√
1 + x + 1
2 − 2
√
1 − x − x
; d) lim
x→+∞
√
x
2
+ 1 −
5
√
x
5
+ 2
x
;
e) lim
x→5
4 −
√
21 − x
3
√
x − 13 + 2
;
f) lim
x→∞
³
3
√
x
3
+ x
2
+ x + 1 −
3
√
x
3
− x
2
+ x − 1
´
.
[ a) 1; b) −
1
2
; c)
1
16
. x = t
12
−1; d) 0;
e)
3
2
; f)
2
3
].
                         2
    4. Ïóñòü y = xx2 −1
                     +1
                        . Ïðè x → 2 èìååì y → 53 .¯ Êàêîâî
                                                       ¯
                                                  ¯    ¯
äîëæíî áûòü δ ÷òîáû èç |x − 2| < δ ñëåäîâàëî ¯y − 35 ¯ <
               √
0, 1? [ δ < 2 − 3 ].
                         x−1
      5. Ïóñòü y =      2(x+1)
                               .   Ïðè x → 3 èìååì y → 41 . Êàêîâî
                                                                    ¯    ¯
                                                                    ¯    ¯
äîëæíî áûòü δ ÷òîáû èç |x − 3| < δ ñëåäîâàëî ¯y − 14 ¯ <
             2
0, 01? [ δ < 13 ].
    6. Äîêàçàòü, ÷òî sin x ñòðåìèòñÿ ê åäèíèöå ïðè x →
π
2
  .  Êàêèì óñëîâèÿì äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü x â îêðåñòíîñòè
òî÷êè x¯ = π2 , ¯ ÷òîáû èìåëî ìåñòî íåðàâåíñòâî 1 − sin x <
         ¯        ¯
0, 01? [ ¯ x − π2 ¯ < π2 − arcsin 0, 99 = 0, 133 ].
   7. Ïðè íåîãðàíè÷åííîì âîçðàñòàíèè x ôóíêöèÿ y = x21+1
ñòðåìèòñÿ ê íóëþ: lim x21+1 = 0. Êàêîâî äîëæíî áûòü Aε ,
                             x→∞                            q
                                                                1
÷òîáû èç |x| > Aε ñëåäîâàëî y < ε?                 [ Aε ≥       ε
                                                                    − 1, ïðè
ε < 1 ].
                                        2
    8. Åñëè x → +∞, òî y = xx2 −1
                                +3
                                    → 1. Êàêîâî äîëæíî áûòü
A , ÷òîáû
h ε     q
            èç |x| > Aε ñëåäîâàëî
                           i
                                   |y − 1| < ε?
          4              4
  Aε ≥ ε − 3, ïðè ε < 3 .
                            √                      √
    9. Âû÷èñëèòü: a) lim ( x2 − 2x − x); b) lim ( x2 + 1 + x);
                       x→+∞                  x→−∞
         √          √                     √          √
        3 1+x−4 1+x+1
          3          4
                                            x2 + 1 − 5 x5 + 2
c) lim           √             ; d) lim                       ;
    x→0     2−2 1−x−x               x→+∞           x
             √
         4 − 21 − x
 e) lim √             ;
     x→5 3 x − 13 + 2
        ³√                   √               ´
f ) lim 3 x3 + x2 + x + 1 − 3 x3 − x2 + x − 1 .
      x→∞

 [ a) 1; b) − 21 ; c)     1
                         16
                            .   Óêàçàíèå: ïîëîæèòü x = t12 − 1; d) 0;
e) 23 ; f ) 23 ].

                                       61

Страницы