Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

lim
x→x
0
f(x) = b
f(x) x
0
, f(a) 6= b ;
f(a) = b, f(x)
x
0
,
f
(
x
0
+0) f
(
x
0
−
0), f(x
0
+ 0) 6= f(x
0
− 0);
x
0
f(x) g(x) x
0
,
f(x)±g(x), f(x)·g(x),
f(x)
/
g(x)
x
0
g(x
0
) 6= 0
y = ϕ(x) x
0
,
u = f(y) y
0
= ϕ(x
0
).
u = f[ϕ(x)] x
0
.
f(x) : a) f(x) =
= sgnx; b) f(x) =
|x|
/
x
.
f(x) ± g(x), f(x) · g(x),
f(x)
/
g(x)
x
0
. f(x) g(x)
x
0
?
   1) óñòðàíèìîãî ðàçðûâà, åñëè ñóùåñòâóåò lim f (x) = b íî
                                           x→x0
ëèáî f (x) íå îïðåäåëåíà â òî÷êå x0 , ëèáî f (a) 6= b ; (åñëè
ïîëîæèòü f (a) = b, òî ôóíêöèÿ f (x) ñòàíåò íåïðåðûâíîé â
òî÷êå x0 , òî åñòü ðàçðûâ áóäåò óñòðàí¼í).
    2) ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà, åñëè ñóùåñòâóþò f (x0 +0) è f (x0 −
0), íî f (x0 + 0) 6= f (x0 − 0);
   3) ðàçðûâà âòîðîãî ðîäà, åñëè â òî÷êå x0 íå ñóùåñòâóåò ïî
êðàéíåé ìåðå îäèí èç îäíîñòîðîííèõ ïðåäåëîâ ôóíêöèè.
   Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå òåîðåìû.
   Åñëè ôóíêöèè f (x) è g(x) íåïðåðûâíû â òî÷êå x0 , òî
ôóíêöèè f (x) ± g(x), f (x) · g(x), f (x)/g(x) òàêæå íåïðåðûâíû
â òî÷êå x0 (÷àñòíîå  ïðè óñëîâèè, ÷òî g(x0 ) 6= 0 ).
   Ïóñòü ôóíêöèÿ y = ϕ(x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 , à ôóíê-
öèÿ u = f (y) íåïðåðûâíà â òî÷êå y0 = ϕ(x0 ). Òîãäà ñëîæíàÿ
ôóíêöèÿ u = f [ϕ(x)] íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 .

   Á. Êîíòðîëüíûå âîïðîñû è çàäàíèÿ.
  1. Ñôîðìóëèðóéòå íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ íåïðå-
ðûâíîñòè ôóíêöèè â òî÷êå.
   2. Íàéäèòå òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè Äèðèõëå. Óêàæèòå òèïû
ýòèõ òî÷åê ðàçðûâà.
   3. Óêàæèòå òèï òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè f (x) :       a) f (x) =
= sgnx; b) f (x) = |x|/x.
   4. Ïóñòü f (x) ± g(x), f (x) · g(x), f (x)/g(x) íåïðåðûâíû â
òî÷êå x0 . Ñëåäóåò ëè îòñþäà, ÷òî f (x) è g(x) íåïðåðûâíû â
òî÷êå x0 ? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû.

                              63

Страницы