Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x
0
f(x) + g(x), f(x) − g(x), f(x) · g(x),
f(x) x
0
, g(x)
f(x) g(x) x
0
.
1
◦
. f(x) = sgn x, g(x) = 2sgn x.
2
◦
. f(x) =
arctg
1
/
x
, x 6= 0,
0, x = 0;
g(x) =
0, x 6= 0
1, x = 0.
x
0
lim
x→+0
f(x) lim
x→−0
f(x)
f(x) =
sin
1
/
x
, x > 0
cos x, x < 0
f(x) =
1, x −
−1, x −
”ε − δ
ε
”
a)
3
√
x; b) arctg x.
a)
¯
¯
¯
3
√
x −
3
√
x
0
¯
¯
¯ =
| x−x
0
|
3
√
x
2
+
3
√
x·x
0
+
3
√
x
2
0
=
=
|x−x
0
|
(
3
√
x+1/2·
3
√
x
0
)
2
+3/4·
3
√
x
2
0
≤
|x−x
0
|
3/4·
3
√
x
2
0
< ε, (x
0
6= 0),
|
x
−
x
0
|
<
3/4
·
3
q
x
2
0
·
ε
=
δ
ε
(
x
0
)
.
    5. ×òî ìîæíî ñêàçàòü î íåïðåðûâíîñòè â òî÷êå x0 ôóíêöèé
f (x) + g(x), f (x) − g(x), è f (x) · g(x), åñëè
   à) ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x0 , à g(x) ðàçðûâíà
â ýòîé òî÷êå.
   á) ôóíêöèè f (x) è g(x) ðàçðûâíû â òî÷êå x0 . Ðàññìîò-
ðèòå ïðèìåðû:
1◦ . f (x) = sgn x, g(x) = 2sgn x.
                                                        
                 arctg 1/ , x 6= 0,                      0, x 6= 0
2◦ .    f (x) =           x                       g(x) =
                 0,         x = 0;                       1, x = 0.

   6. Ïðèâåñòè ïðèìåð îãðàíè÷åííîé â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè
x0 ôóíêöèè, äëÿ êîòîðîé lim f (x) íå ñóùåñòâóåò, à lim f (x)
                         x→+0                                              x→−0
                      sin 1/ , x > 0
ñóùåñòâóåò. f (x) =         x        
                      cos x, x < 0

   7. Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî êâàäðàò ðàçðûâíîé ôóíêöèè
åñòü òàêæå ðàçðûâíàÿ ôóíêöèÿ?
                                                              
                      
                 1, x − ðàöèîíàëüíîå
Íåò. f (x) =                          
               −1, x − èððàöèîíàëüíîå


       Â. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷.
       Ïðèìåð 49. Ñ ïîìîùüþ ”ε − δε ” ðàññóæäåíèé äîêàçàòü
                                       √
íåïðåðûâíîñòü ñëåäóþùèõ ôóíêöèé: a) 3 x; b) arctg x.
                        ¯√     √ ¯
   Äîêàçàòåëüñòâî. a) ¯¯ 3 x − 3 x0 ¯¯ = √3 2 |√3x−x0 | √
                                                        3 2
                                                            =
                                                                    x +   x·x0 +   x0
               |x−x0 |                       |x−x0 |
=     √        √             √        ≤           √      < ε,       (x0 6= 0),          åñëè
    ( 3 x+1/2· 3 x0 )2 +3/4· 3 x20          3/4· 3 x20
                      q
|x − x0 | < 3/4 ·      3
                           x20 · ε = δε (x0 ).


                                             64

Страницы