Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

lim
x→0
sin x
x
= 1 lim
x→∞
³
1 +
1
x
´
x
= e.
”
”
x
0
∈ {X}. f(x) x
0
,
lim
x→x
0
f(x) = f(x
0
), ∀ε > 0∃ δ
ε
(x
0
) > 0
|x − x
0
| < δ
ε
|f(x) −f(x
0
)| < ε.
f(x)
x
0
,
x
0
f(x).
f(x), (a, x
0
] ([x
0
, b))
x
0
, lim
x→x
0
−0
f(x) =
f(x
0
)
µ
lim
x→x
0
+0
f(x) = f(x
0
)
.
f(x) {X},
{X}.
   Çàìå÷àíèå: Çäåñü ìû íå ðàññìàòðèâàåì ïðèìåðû
                                        ³      ´x
                                                  íà äâà çà-
                          sin x              1
ìå÷àòåëüíûõ ïðåäåëà: lim x = 1 è lim 1 + x = e. Ïðè-
                      x→0           x→∞
ìåðû íà ýòè çàìå÷àòåëüíûå ïðåäåëû èìåþòñÿ â áîëüøîì êîëè-
÷åñòâå â ”Ñáîðíèêå çàäà÷ è óïðàæíåíèé ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó
àíàëèçó” Á. Ï. Äåìèäîâè÷à.


                    4.3. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè.

    À. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ.
   Ïóñòü ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè
x0 ∈ {X}. Ôóíêöèÿ f (x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå x0 ,
åñëè lim f (x) = f (x0 ), òî åñòü åñëè ∀ε > 0∃ δε (x0 ) > 0 òàêîå, ÷òî
     x→x0
ïðè |x − x0 | < δε âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |f (x) − f (x0 )| < ε.
   Çàìåòèì, ÷òî â ýòîì îïðåäåëåíèè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî f (x)
îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè è â ñàìîé òî÷êå x0 , ïðåä-
ïîëàãàåòñÿ òàêæå ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà â ýòîé òî÷êå è ðà-
âåíñòâî ýòîãî ïðåäåëà çíà÷åíèþ ôóíêöèè â ýòîé òî÷êå. Åñëè
íàðóøåíî õîòÿ áû îäíî èç óêàçàííûõ óñëîâèé, òî òî÷êà x0
íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà ôóíêöèè f (x).
   Ôóíêöèÿ f (x), îïðåäåë¼ííàÿ íà (a, x0 ] ([x0 , b)) íàçûâàåò-
ñÿ íåïðåðûâíîé ñëåâà (ñïðàâà) â òî÷êå x0 , åñëè lim f (x) =
          µ                     ¶                      x→x0 −0

f (x0 )       lim f (x) = f (x0 ) .
          x→x0 +0

   Åñëè f (x) íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâà {X}, òî
îíà íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé íà {X}.
    Òî÷êè ðàçðûâà áûâàþò:



                                      62

Страницы