Введение в математический анализ в вопросах и задачах. Анчиков А.М - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

f(x) =
x, x < 0,
sin x, x > 0.
f(x)
x = 0. lim
x→0
f(x) ?
x = 0
f(x). f(0 + 0) = lim
x→0+0
sin x = lim
x→+0
sin x = 0;
f(0 −0) = lim
x→0−0
x = lim
x→−0
x = 0.
f(x) x = 0
lim
x→0
f(x) = 0.
1. lim
x→∞
x
2
+ x − 6
x
2
− 3x + 2
; [1].
2. lim
x→2
3
√
25 + x −
3
√
29 − x
x −
√
2x
;
·
4
27
¸
.
3. lim
x→+∞
(
√
x
2
+ 2x − x); [1].
4. lim
x→0
3
3
√
1 + x − 4
4
√
1 + x + 1
2 − 2
√
1 − x
; [0].
5. lim
x→+∞
(
√
1 + 2x + x
2
−
√
x
2
− 4x + 1); [3].
6. lim
x→0
3
3
√
1 + x − 4
4
√
1 + x + 1
2 − 2
√
1 − x + x
;
·
1
6
¸
.
                              
                                    x,     ïðè x < 0,
   Ïðèìåð 43. Ïóñòü f (x) =                           ( f (x)
                                   sin x,   ïðè x > 0.
íå îïðåäåëåíà ïðè x = 0. ) Ñóùåñòâóåò ëè lim f (x) ?
                                               x→0

   Ðåøåíèå. Âû÷èñëèì â òî÷êå x = 0 îäíîñòîðîííèå ïðåäå-
ëû ôóíêöèè f (x). f (0 + 0) =      lim sin x = lim sin x = 0;
                                  x→0+0           x→+0
f (0 − 0) = lim x = lim x = 0. Îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû ôóíê-
           x→0−0    x→−0
öèè f (x) â òî÷êå x = 0 ñóùåñòâóþò è ðàâíû 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
lim f (x) = 0.
x→0

   Ã. Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé
ðàáîòû.

   Âû÷èñëèòü ïðåäåëû:

         x2 + x − 6
1. x→∞
    lim             ; [1].
       x2 − 3x + 2
       √           √         · ¸
       3
         25 + x − 3 29 − x    4
2. lim           √         ;     .
   x→2       x − 2x           27
         √
3. lim ( x2 + 2x − x); [1].
  x→+∞
        √        √
       331+x−441+x+1
4. lim         √          ; [0].
   x→0     2−2 1−x
         √            √
5. lim ( 1 + 2x + x2 − x2 − 4x + 1); [3].
   x→+∞
        √      √      · ¸
       331+x−441+x+1 1
6. lim       √      ;     .
   x→0    2−2 1−x+x    6


                              57

Страницы