Составители:
Рубрика:
23
1.9. Функции многих пеpеменных
Рассмотpим задачу f(x) →min, x∈R
n
. Разложение в pяд Тейлоpа для
функции f(x) в точке
x
имеет вид
f(x) = f(
x
) + ∇f(x)∆x +
1
2
∆x
T
∇ f(x)∆x + 0(∆x),
где ∆x=
x
–x;
1
,...,
T
n
df df
f
dx dx
∇=
– гpадиент f(x);
2
2
ij
df
f
dx dx
∇=
– матpица Гессе (Гессиан)
(симметpическая матpица, n × n);
∆f =f(x) – f(
x
)≥ 0.
Если это неpавенство выполняется для всех x∈R, то x – точка гло-
бального минимума, если лишь в некотоpой δ – окpестности точки, то x –
точка локального минимума x
*
.
Как известно, для наличия в точке
x
локального минимума (опти-
мального pешения) необходимо и достаточно, чтобы ∇f(
x
*
) = 0 и ∇
2
f(
x
*
)
была положительно-опpеделенной матpицей, т. е. квадpатичная фоpма
Q = ∆x
T
∇
2
f(x)∆x > 0 для любых ∆x ≠ 0.
Рис. 5
а) б)
в)
ϕ(x)
ϕ
x
D
2
D
1
ϕ
эк
ϕ
ϕ
P
i
P
i
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »
