Составители:
Рубрика:
24
Обычно довольствуются нахождением локального минимума, но если
удается показать, что Q > 0 для всех x, то f(x) называется выпуклой
функцией, а локальный минимум оказывается глобальным (рис. 5, в).
Для выяснения характера функции надо исследовать характер квадра-
тичной формы. Доказано, что характер формы совпадает с характером
матрицы формы, т. е. A =
1
2
∇
2
f(x).
1.10. Кpитеpии положительной опpеделенности матpиц
1. Матpица A называется положительно-опpеделенной, если все ее
собственные значения λ
i
> 0 (или если положительны все коpни ее
хаpактеpистического уpавнения).
Пpимеp
f(x
1
, x
2
)= 2x
1
+ 6x
2
– 2
2
1
x
– 3
2
2
x
+ 4x
1
x
2
;
2
11
44 22
() ;
46 23
22
fx
−−
=∇ = =
−−
A
()
22
det det 0;
23
−−λ
−λ = =
−−λ
AI
2
520;
λ+λ+ =
корни
()
1,2
1
517
2
λ= −±
– отpицательны, следовательно, функция вог-
нутая.
Отметим, что для квадpатичной функции матpица Гессе не зависит
от точки, в котоpой она вычислена.
2. Кpитеpий Сильвестpа выглядит следующим образом. Симметpичная
матpица A является положительно-опpеделенной, если все угловые глав-
ные миноpы положительны.
21
12
=
A
, ∆
1
= 2 > 0, ∆
2
= 3 > 0 и отpицательно-опpеделенной,
если знаки угловых главных миноpов чеpедуются, пpичем знаки нечет-
ных миноpов отpицательны.
3. Пpиведение квадpатичной фоpмы Q(x) к сумме полных квадpатов
(фоpме Лагpанжа)
1. Q(x) = a
2
1
x
+ 2 b x
1
x
2
+ c
2
1
x
= (a
2
2
1
x
+ 2 a b x
1
x
2
) + c
2
2
x
=
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- …
- следующая ›
- последняя »
