Электричество и магнетизм. Анищенко И.А - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

31
Задача 5. Электрическое поле создано тонким стержнем,
несущим равномерно распределенный по длине заряд τ=0,1
мкКл/м. Определить потенциал ϕ поля в точке, удаленной от
концов стержня на расстояние, равное длине стержня.
Решение:
Геометрия задачи показана на рисунке. Заряд, находящийся
на стержне, нельзя считать точечным, поэтому непосредственно
применить для вычисления потенциала формулу:
ϕ=
Q
r4
0
πε
, (1)
справедливую толь-
ко для точечных зарядов,
нельзя. Но, если разбить
стержень на элементар-
ные отрезки dl, то заряд
dldQ
τ
=
, находящийся на
каждом из них, можно
рассматривать как точеч-
ный и тогда формула (1)
будет справедлива. Применив эту формулу, получим:
A
d
α
τ
r
α
α
1
dl 0 x
dϕ=
τ
πε
dl
r4
0
, (2)
где r - расстояние от точки, в которой определяется потен-
циал, до элемента стержня. Из рисунка следует, что dlcosα=rdα.
Подставив dl из этого выражения в формулу (2), находим:
dϕ=
τ
α
πε α
d
4
0
cos
.
Интегрируя последнее выражение в пределах от α
1
до α
2
,
получим формулу для потенциала, создаваемого всем зарядом,
распределенным на стержне:
ϕ=
τα
πε α
α
α
d
4
0
1
2
cos
∫
.
В силу симметрии расположения точки A относительно
концов стержня, имеем α
1
=α
2
=π/6 и, поэтому, пределы интегри-
рования возьмем от 0 до π/6, а результат удвоим: 
                                    31




     Задача 5. Электрическое поле создано тонким стержнем,
несущим равномерно распределенный по длине заряд τ=0,1
мкКл/м. Определить потенциал ϕ поля в точке, удаленной от
концов стержня на расстояние, равное длине стержня.
     Решение:
     Геометрия задачи показана на рисунке. Заряд, находящийся
на стержне, нельзя считать точечным, поэтому непосредственно
применить для вычисления потенциала формулу:
                    Q
               ϕ=      ,                         (1)
                  4πε0 r
                                          справедливую толь-
                                    ко для точечных зарядов,
                   A
                                    нельзя. Но, если разбить
             dα
                                    стержень на элементар-
                            τ
           r                        ные отрезки dl, то заряд
                 α   α1             dQ = τdl , находящийся на
                                    каждом из них, можно
            dl     0           x    рассматривать как точеч-
                                    ный и тогда формула (1)
будет справедлива. Применив эту формулу, получим:
                          τdl
                      dϕ=     ,            (2)
                           4πε0 r
     где r - расстояние от точки, в которой определяется потен-
циал, до элемента стержня. Из рисунка следует, что dlcosα=rdα.
Подставив dl из этого выражения в формулу (2), находим:
                                           τdα
                             dϕ=                   .
                                         4πε0 cosα
     Интегрируя последнее выражение в пределах от α1 до α2,
получим формулу для потенциала, создаваемого всем зарядом,
распределенным на стержне:
                                    α2
                                          τdα
                             ϕ= ∫                   .
                                    α 1 4πε0 cosα

     В силу симметрии расположения точки A относительно
концов стержня, имеем α1=α2=π/6 и, поэтому, пределы интегри-
рования возьмем от 0 до π/6, а результат удвоим:

Страницы