Электричество и магнетизм. Анищенко И.А - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

30
стью τ=20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек
этого поля, находящихся на расстояниях a
1
=0,5 см и a
2
=2 см от
поверхности цилиндра в средней его части.
Решение:
Взаимное расположение точек поля и заряженного цилинд-
ра показано на рисунке. Для определения разности потенциалов
воспользуемся известным соотношением между напряженностью
поля и изменением потен-
циала:
ϕ
grad−=E
.
Для поля с осевой
симметрией, каким являет-
ся поле цилиндра, это со-
отношение можно записать
в виде:
E = -
d
dr
ϕ
или dϕ = -
Edr .
R
1
τ
a
1
2
a
2
Интегрируя последнее выражение, найдем разность потен-
циалов двух точек, отстоящих на r
1
и r
2
от оси цилиндра:
ϕ
2
- ϕ
1
= - . (1)
Edr
r
r
1
2
∫
Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней
части, то для выражения напряженности поля, создаваемого за-
ряженным цилиндром, можно воспользоваться формулой:
E =
τ
πε
2
0
r
.
Подставив выражение для E в равенство (1) и интегрируя,
получим:
ϕ
2
- ϕ
1
= -
τ
πε
τ
πε
22
00
2
1
1
2
dr
r
r
r
r
r
∫
=− ln
или: ϕ
1
- ϕ
2
=
τ
πε
2
0
2
1
ln
r
r
.
Представив r
1
и r
2
как: r
1
=R+a
1
и
r
2
=R+a
2
, получим ϕ
1
-
ϕ
2
=250 В.
Ответ: ϕ
1
-ϕ
2
=250 В. 
                                         30



стью τ=20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек
этого поля, находящихся на расстояниях a1=0,5 см и a2=2 см от
поверхности цилиндра в средней его части.
     Решение:
      Взаимное расположение точек поля и заряженного цилинд-
 ра показано на рисунке. Для определения разности потенциалов
воспользуемся известным соотношением между напряженностью
                                     поля и изменением потен-
                                          циала: E = −grad ϕ .
                    R
                                          Для поля с осевой
                                1   симметрией, каким являет-
          τ               a1        ся поле цилиндра, это со-
                                  2 отношение можно записать
                             a2     в виде:
                                               dϕ
                                         E=-        или dϕ = -
                                                                   dr
Edr .
    Интегрируя последнее выражение, найдем разность потен-
циалов двух точек, отстоящих на r1 и r2 от оси цилиндра:
                                   r2

                    ϕ2 - ϕ1= - ∫ Edr .                                  (1)
                                   r1


     Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней
части, то для выражения напряженности поля, создаваемого за-
ряженным цилиндром, можно воспользоваться формулой:
                                 τ
                            E=      .
                                               2πε0 r
    Подставив выражение для E в равенство (1) и интегрируя,
получим:
                                         τ     r2
                                                  dr     τ    r
                           ϕ2 - ϕ1= -          ∫     =−     ln 2
                                        2πε0   r1
                                                   r    2πε0 r1

                         τ    r
        или: ϕ1 - ϕ2=       ln 2   .
                        2πε0 r1

     Представив r1 и r2 как: r1=R+a1 и r2=R+a2, получим ϕ1-
ϕ2 =250 В.
     Ответ: ϕ1-ϕ2=250 В.

Страницы