Электричество и магнетизм. Анищенко И.А - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

29
Интегрирование ведется вдоль дуги длины l. В силу сим-
метрии интеграл равен нулю. Тогда:
∫
l
x
dE
E = j , (1)
dE
y
l
∫
где dE
y
= dE⋅cosθ =
τ
πε
θ
dl
r4
0
2
cos
.
Так как r=R=const и dl=Rd
θ
, то dE
y
=
τ
θ
θ
πε
cos d
R4
0
.
Подставим найденное выражение для dE
y
в (1). Приняв во
внимание симметричное расположение дуги относительно оси oy,
пределы интегрирования возьмем от 0 до π/3 и удвоим результат.
Тогда получаем:
E=j
2
4
0
0
3
τ
πε
θθ
π
R
dcos
∫
=
j
τ
πε
θ
2
0
R
sin
⏐
0
3
π
.
Подставив указанные пределы и выразив R через длину дуги
(3l=2πR), получим: E = j
τ
ε
3
6
0
l
.
Из этой формулы видно, что вектор E совпадает с положи-
тельным направлением оси oy . Подставив значение τ и l в по-
следнюю формулу и сделав вычисления, найдем E=2,18 кВ/м.
Определим потенциал электрического поля в точке «0». Для
этого сначала найдем потенциал dϕ, создаваемый точечным за-
рядом dQ в точке «0»:
dϕ=
τ
πε
dl
r
4
0
Заменим r на R и, учитывая, что l=2πR/3, произведем ин-
тегрирование:
ϕ=
τ
πε
τ
ε
4
00
0
R
dl
l
=
∫
6
=188 В.
Ответ: ϕ=188 В.
Задача 4. Электрическое поле создано длинным цилиндром
радиусом R=1 см, равномерно заряженным с линейной плотно-
                                          29



    Интегрирование ведется вдоль дуги длины l. В силу сим-
метрии интеграл ∫ dE x равен нулю. Тогда:
                    l


                   E = j ∫ dE y ,                            (1)
                          l
                           τdl
     где dEy = dE⋅cosθ = 4π ε r 2 cosθ .
                             0

                                                        τ cosθdθ
    Так как r=R=const и dl=Rdθ , то dEy= 4πε R .
                                            0



     Подставим найденное выражение для dEy в (1). Приняв во
внимание симметричное расположение дуги относительно оси oy,
пределы интегрирования возьмем от 0 до π/3 и удвоим результат.
Тогда получаем:
                                   π
                                                            π
                              2τ    3
                                              τ
                    E=j        ∫
                        4πε0 R 0
                                 cosθdθ = j
                                            2πε 0 R
                                                    sin θ ⏐ 03 .

    Подставив указанные пределы и выразив R через длину дуги
                               τ 3
(3l=2πR), получим: E = j              .
                               6ε 0 l
     Из этой формулы видно, что вектор E совпадает с положи-
тельным направлением оси oy . Подставив значение τ и l в по-
следнюю формулу и сделав вычисления, найдем E=2,18 кВ/м.
     Определим потенциал электрического поля в точке «0». Для
этого сначала найдем потенциал dϕ, создаваемый точечным за-
рядом dQ в точке «0»:
                                 τdl
                            dϕ=
                                               4πε0 r
     Заменим r на R и, учитывая, что l=2πR/3, произведем ин-
тегрирование:
                              τ l         τ
                         ϕ= 4πε R ∫ dl = 6ε =188 В.
                               0  0         0

    Ответ: ϕ=188 В.

     Задача 4. Электрическое поле создано длинным цилиндром
радиусом R=1 см, равномерно заряженным с линейной плотно-

Страницы