ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
49
4. Решение краевой задачи для линейного обыкновенного
дифференциального уравнения второго порядка интегральным
методом наименьших квадратов
4.1. Постановка задачи и алгоритм метода
Снова рассмотрим краевую задачу: найти на отрезке ],[ ba решение )(
x
Y
дифференциального уравнения
[]
)()()( xfyxqyxpyyL =+
′
+
′′
= , (4.1)
удовлетворяющее условиям
⎩
⎨
⎧
=
′
+
=′+
,)()(
,)()(
210
210
bbybbyb
aayaaya
(4.2)
где )(),(),(
x
f
x
q
x
p – заданные функ ции, непрерывные на отрезке ],[ ba ; ,,
10
aa
2102
,,, bbba – заданные числа, причем 0
2
1
2
0
>+ aa , 0
2
1
2
0
>+ bb .
Заметим здесь, что краевая задача (3.1), (3.2) может быть сведена к задаче
(4.1), (4.2). Для этого достаточно разделить обе части уравнения (3.1) на )(
x
K
и
ввести обозначение
)(/)()(),(/)()(),(/)()( xKxgxfxKxxqxKxKxp =−=
′
=
β
.
Для нахождения приближенного решения задачи (4.1), (4.2) интегральным
методом наименьших квадратов строиться функциональная
последовательность
}{
∞
0
)(xy
n
из пробных решений вида
∑
=
+=
n
i
iin
xuCxuxy
1
0
)()()( , (4.3)
где )(...,),(),(
10
xuxuxu
n
– функции, удовлетворяющие таким же условиям и
требованиям, что и аналогичные функции в методах Галеркина и Ритца.
Подс тавляя пробное решение (4.3) вместо )(
x
y
в уравнение (4.1), получим
невязку
()[] []
∑
=
+−=
n
i
iin
uLCxfuLxCCR
1
01
)(,,..., , (4.4)
Напомним, что функция (4.4), линейно зависящие от параметров
n
CC ,...,
1
,
является характеристикой уклонения пробного решения (4.3) от точного
решения задачи )(
x
Y . Поэтому подберем значения
n
CC ,...,
1
так, чтобы они
доставляли глобальный минимум следующей функции переменных
n
CC ,...,
1
()( )( )()()
∫
==
b
a
nnnn
dxxCCRxCCRxCCRCC ,,...,,,...,,,,...,,...,
1
2
111
ϕ
. (4.5)
Заметим, что, так как
()
n
CC ,...,
1
ϕ
из (4.5) неотрицательная квадратичная
функция n переменных, то глобальный минимум ее существует и совпадает с
локальным.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- …
- следующая ›
- последняя »
