Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных: типовой расчет по высшей математике. Анкилов А.В - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

-5-
2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать, что если функция ),( y
x
f
непрерывна в некоторой точке, то
она непрерывна в этой точке и по каждой из переменных x
и y в отдельности.
2.
Доказать утверждение: если функция ),( y
x
f
имеет частную
производную
),( yxf
x
′
в некоторой окрестности точки ),( ba
M
, причем
существует предел
()
cbhaf
x
h
=
+
′
→
,lim
0
, то этот предел равен
()
baf
x
,
′
.
3.
Температура Т воздуха в некоторой точке земной поверхности является
функцией трех переменных: долготы точки λ, ее широты θ и момента времени t.
Указать физический смысл частных производных
t
TTT
′
′
′
,,
θλ
.
4.
Доказать утверждение: если функция ),( y
x
f
удовлетворяет
неравенству
22
|),(| yxyxf +< , то она дифференцируема в точке (0,0).
5.
Доказать, что функция
()
(
)
26
3
,
yx
yx
yxf
+
=
, если
0
26
≠+ yx
, и
0),(
=y
x
f
, если 0=
=
y
x
, – разрывна при 0
=
=
y
x
, но имеет частные
производные в точке (0, 0).
6.
Доказать, что функция
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅=
x
y
gy
x
y
gxz
удовлетворяет
соотношению 02
22
=
′′
+
′′
+
′′
yyxyxx
zyzxyzx .
7.
Доказать, что
xy
UzgU
′
=
′
)(, где )(z
f
U
=
, а z – функция от x и y,
определяемая из уравнения )(z
g
y
x
z
⋅
+
= .
8.
Доказать, что касательная плоскость к поверхности
3
axyz = в любой ее
точке образует с плоскостями координат тетраэдр постоянного объема. Найти
этот объем.
9.
Сумма нескольких положительных чисел, имеющих данное
произведение, оказывается наименьшей тогда и только тогда, когда все эти
числа равны между собой. Доказать.
10.
Пользуясь определением, доказать, что функция
42
yxz += имеет
экстремум в точке (0,0).
11.
Пользуясь определением, доказать, что функция )(sin
2
zyxU ++=
имеет экстремум в точке (0,0).
12.
Пользуясь определением, доказать, что функция
22
yxz −= в точке
(0,0) экстремума не имеет (причем точка (0,0) является стационарной для
функции
z).
13.
Пользуясь определением, доказать, что функция
22
yxz += в точке
(0,0) имеет экстремум. Доказать, что в точке (0,0) частные производные
yzxz ∂∂∂∂ и не существуют.

Страницы