ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
-7-
получим:
,sin
2
221
2
4
22
2
222
2
v
yxxy
xxy
vyxxy
xyy
z
u
⋅
−
−
+⋅
−
−
=
′
vu
yxxy
xxy
v
u
yxxy
xyy
z
v
cos
2
222
2
4
22
2
322
2
⋅⋅
−
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅
−
−
=
′
.
Вместо
x и y подставим их выражения через u и v. После несложных
преобразований получим:
,
3
u
z
u
=
′
(
)
()
2sinsin
cos2sin8sincossin2
2
2
−
−+−
=
′
vvvv
vvvvvvvv
z
v
.
ЗАДАЧА № 2.2. Продифференцировать сложную функцию
23
yzxu = , где
t
x
sin
=
, ty = ,
2
t
z
=
.
Решение. Так как u является функцией одной независимой переменной, то
речь идет о вычислении обыкновенной производной
t
u
′
. Выполняя действия в
соответствии с формулой
tztytx
zuyuxuu
′
′
+
′
′
+
′
′
=
′
t
, получим:
tyzx
t
zx
tyzxu
t
22
2
cos3
3
23
22
++=
′
.
Вместо x, y и z подставим их в выражения через t:
()
ttttttttt
t
t
tttttu
t
sin9cos6sin5.0sin4
2
sincossin3
2333
4
342
+⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅=
′
.
ЗАДАЧА № 3. Найти все частные производные и полные дифференциалы
первого и второго порядка от функции
223
)2( yxz += .
Решение. Находим все частные производные 1-го и 2-го порядков:
),2(12
232
yxxz
x
+=
′
),2(4
23
yxyz
y
+=
′
,24120612)2(24
242223
xyxxxyxxz
xx
+=⋅++=
′′
,24
2
yxz
xy
=
′′
.128
23
yxz
yy
+=
′′
Находим дифференциалы:
,)2(4)2(12
23232
dyyxydxyxxdyzdxzdz
yx
+++=
′
+
′
=
.)128(48)24120(2
2232224222
dyyxydxdyxdxxyxdyzdxdyzdxzzd
yyxyxx
++++=
′′
+
′′
+
′′
=
ЗАДАЧА № 4. Доказать, что функция
x
y
z e
=
удовлетворяет соотношению:
0
2
2
22
=
∂
∂
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
y
z
y
x
z
x
x
.
Решение. Находим производные:
x
y
x
y
x
y
e
xy
z
e
xy
z
x
y
e
x
z
22
2
2
1
,
1
, =
∂
∂
=
∂
∂
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
∂
∂
;
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
