ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
-8-
далее получаем
2
2
22
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
x
y
eye
x
x
y
ex
xx
z
x
x
x
y
x
y
x
y
.
Подставляя в левую часть соотношения, получаем:
0
1
2
2
2
2
2
22
=−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
∂
∂
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
x
y
x
y
e
x
y
x
y
e
y
z
y
x
z
x
x
,
что и требовалось доказать.
ЗАДАЧА № 5.1. Найти первую и вторую производные неявной функции,
заданной уравнением .02)32ln(
3
=−−+ yxyx
Решение. Производная неявной функции y=y(x), заданной с помощью
уравнения F(x,y)=0, может быть вычислена по формуле
y
F
x
F
dx
dy
∂
∂
∂
∂
−=
при
условии, что
0≠
∂
∂
y
F
. В данном случае
.02)32ln(),(
3
=−−+= yxyxyxF
Находим
:u yFxF ∂∂∂∂
2
3
32
3
,2
32
2
y
yxy
F
yxx
F
−
+
=
∂
∂
−
+
=
∂
∂
.
Производная неявной функции равна:
32
2
963
642
3
32
3
2
32
2
yxy
yx
y
yx
yx
y
F
x
F
x
y
−−
−−
−=
−
+
−
+
−=
∂
∂
∂
∂
−=
∂
∂
. (3.1)
Производную второго порядка можно найти последовательным
дифференцированием последнего соотношения, рассматривая при этом y как
функцию от x. Получаем:
(
)
.
963
)27126)(642()963)(64(
963
642
2
32
2232
322
2
yxy
yyyxyyyxyxyy
yxy
yx
x
x
y
−−
′
−
′
−−−−−−−
′
−−
−=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−
−
∂
∂
=
∂
∂
Подставляя в это соотношение выражение для
y
dx
dy
′
= из формулы (3.1),
получим производную второго порядка для функции y:
(
)
.
963
1654601612966541087296
12y
3
32
3325424322
yxy
yxyxyyxxyyxyyyxyyxyx
xx
−−
−−−−++++++++
=
′′
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
