ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
-10-
где
3
R – дополнительный член формулы Тейлора.
1)
Найдем все частные производные функции до 3-го порядка включительно:
1−
=
′
y
x
yxf , xxf
y
y
ln=
′
,
(
)
2
1
−
−=
′′
y
xx
xyyf ,
()
2
ln xxf
y
yy
=
′′
,
xyxxf
yy
xy
ln
11 −−
+=
′′
,
(
)
(
)
3
21
−
−−=
′′′
y
xxx
xyyyf ,
()
3
ln xxf
y
yyy
=
′′′
,
() ()
xxyyxyf
yy
xxy
ln112
22
−
−
−+−=
′′′
,
()
2
11
lnln2 xyxxxf
yy
xyy
−−
+=
′′′
.
2)
Вычислим значения функции и ее частных производных в точке М(1, 1):
()
,11,1 =f
()
11,1
=
′
x
f ,
()
01,1
=
′
y
f ,
(
)
01,1
=
′
′
xx
f ,
(
)
11,1 =
′
′
xy
f ,
()
01,1
=
′′
yy
f ,
()
01,1
=
′′′
xxx
f ,
()
11,1
=
′′′
xxy
f ,
(
)
01,1
=
′
′
′
xyy
f ,
(
)
01,1 =
′
′
′
yyy
f .
3)
Составим дифференциалы функций, участвующие в формуле (3.10)
()
(
)
(
)
dxdyfdxfdf
yx
=
′
+
′
= 1,11,111, ,
() ()
(
)
(
)
dxdydyfdxdyfdxffd
yyxyxx
21,11,121,11,1
222
=
′′
+
′′
+
′′
= ,
() () ()
(
)()
dydxdyfdxdyfdydxfdxffd
yyyxyyxxyxxx
232233
31,11,131,131,11,1 =
′′′
+
′′′
+
′′′
+
′′′
= .
Учитывая, что 1
00
== yx , 1
0
−
=
−
=
xxxdx , 1
0
−=
−
=
yyydy , подставим
найденные значения в (3.10). Получим:
()()()()()
3
2
11
2
1
1111 Ryxyxxx
y
+−−+−−+−+= .
ЗАДАЧА № 7.1. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к
поверхности
yxcos
ez = в точке
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
e
M
1
,,1
π
.
Решение. Если уравнение поверхности задано в явной форме
()
yxfz ,= , то
уравнение касательной плоскости в точке
(
)
000
,, zyxM
имеет вид
()
(
)
(
)
(
)
0000000
,, yyyxfxxyxfzz
yx
−
′
+
−
′
=
−
,
а уравнение нормали
()()
1,,
0
00
0
00
0
−
−
=
′
−
=
′
− zz
yxf
yy
yxf
xx
yx
.
Найдем частные производные ,
x
f
′
y
f
′
:
yef
yx
x
cos
cos
=
′
,
(
)
yxef
yx
y
sin
cos
−=
′
.
Найдем значения частных производных в точке
(
)
π
,1N :
()
e
f
x
1
,1 −=
′
π
,
()
0,1 =
′
π
y
f . Подставляя найденные значения и координаты точки М в
уравнения касательной плоскости и нормали, соответственно получим:
e
x
e
z
11 −
−=− или 02
=
−+ ez
x
– уравнение касательной плоскости,
1
1
01
1
−
−
=
−
=
−
− ezy
e
x
π
или
e
ezyx 1
01
1
−
=
−
=
−
π
– уравнение нормали.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
