ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
-9-
ЗАДАЧА № 5.2. Найти первые и вторые частные производные неявной
функции, заданной уравнением
.02
222
=−++− yxzyyxxz
(3.2)
Решение. Будем дифференцировать по x и по y равенство (3.2), понимая под
z неявную функцию двух переменных. Дифференцируем равенство (3.2) по x:
.0222
22
=+
′
+−+
′
xx
zyxyzxzz (3.3)
Найдем
2
2
2
22
yxz
zxy
z
x
+
−−
=
′
.
Дифференцируем равенство (3.2) по y:
.0122
22
=−
′
++−
′
yy
zyyzxxzz (3.4)
Найдем
2
2
2
12
yxz
yzx
z
y
+
+−
=
′
.
Чтобы найти производные второго порядка, продифференцируем
равенство (3.3) сначала по x, потом по y, а равенство (3.4) по y:
,0242)(2
22
=
′′
+−
′
+
′′
+
′
xxxxxx
zyyzzzxzzx
(3.5)
,022222
2
=
′′
+
′
+−
′
+
′′
+
′′
xyxyxyyx
zyzyxzzzxzzzx
(3.6)
.02222)(2
22
=
′
+
′′
+
′
++
′′
+
′
yyyyyyy
zyzyzyzzxzzx
(3.7)
Из (3.5), (3.6), (3.7) соответственно найдем:
()
,
2
2222
,
2
242
22
2
yxz
zzxzzzyx
z
yzx
xzzzy
z
yxyx
xy
xx
xx
+
′′
−
′
−
′
−
=
′′
+
′
−
′
−
=
′′
(3.8)
(
)
.
2
422
2
2
yxz
zyzxz
z
yy
yy
+
′
−−
′
−
=
′′
(3.9)
Подставляя в (3.8), (3.9) выражения для
x
z
′
и
y
z
′
, получим
xyyyxx
zzz
′
′
′
′
′′
,,,
зависящие от x, y, z:
()
,
2
8168841262
3
2
223232245
yxz
xyxyxzyzyxzxzy
z
xx
+
−+−++++
=
′′
(
)
,
2
444422464266
3
2
23422323342223
yxz
xyxyyxzyxzyzyxyzxyzyxzx
z
xy
+
+−+−−−+++−+
=
′′
()
3
2
332432335
2
223422
2
yxz
yyxzyzxxxyzxx
z
yy
+
++−++++
−=
′′
.
ЗАДАЧА № 6. Разложить функцию
y
x
z
=
в окрестности точки
(
)
1,1M по
формуле Тейлора, ограничиваясь членами третьего порядка включительно.
Решение. В данном случае формула Тейлора принимает вид
() ()
(
)
(
)
(
)
,
!3
1,1
!2
1,1
!1
1,1
1,1,
3
32
R
fdfddf
fyxf ++++=
(3.10)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
