Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных: типовой расчет по высшей математике. Анкилов А.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

-11-
ЗАДАЧА № 7.2. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к
поверхности 016232
222
=+−++−+ xzyzxyzyx в точке ).3;2;1(
M
Решение. Если уравнение поверхности имеет вид 0),,( =zy
x
F (т. е.
поверхность задана неявно), то уравнение касательной плоскости в точке
),,(
000
zyxM
есть:
()()()
(
)
(
)( )
0,,,,,,
000000000000
=−
′
+−
′
+−
′
zzzyxFyyzyxFxxzyxF
zyx
.
Уравнение нормали:
()
=
′
−
000
0
,, zyxF
xx
x
()
=
′
−
000
0
,, zyxF
yy
y
()
000
0
,, zyxF
zz
z
′
−
.
Обозначив через
()
zyxF ,,
левую часть уравнения поверхности, найдем
частные производные и их значения в точке М:
zyxF
x
22 −+=
′
, zxyF
y
+
+
=
′
4 , xyzF
z
26 −
+
−
=
′
,
()
23;2;1 −
=
′
x
F ,
(
)
123;2;1
=
′
y
F ,
(
)
183;2;1 −=
′
z
F .
Окончательно получаем уравнение касательной плоскости:
0)3(18)2(12)1(2
=
−
−
−+−− zy
x
или 096 =
+
−
zy
x
,
а уравнение нормали:
18
3
12
2
2
1
−
−
=
−
=
−
− zyx
или
9
3
6
2
1
1
−
=
−
−
=
−
zyx
.
ЗАДАЧА № 8. Найти точки экстремума функции двух переменных
.2
22
yxyxyxz −−++=
Решение. Необходимое условие экстремума
функции двух переменных
состоит в следующем: если дифференцируемая функция
()
yxfz ,= достигает
экстремума в точке
()
00
, yxM
, то в этой точке частные производные первого
порядка обращаются в ноль:
(
)
0,
00
=
′
yxz
x
,
(
)
0,
00
=
′
yxz
y
. Точки, в которых
выполняются эти условия, называются стационарными.
Найдем стационарные точки функции z. Для этого решим систему:
⎩
⎨
⎧
=−+=
′
=−+=
′
.012
,022
yxz
yxz
y
x
Получим стационарную точку М(1; 0).
Применим достаточное условие экстремума
функции двух переменных.
Пусть
()
00
, yxM – стационарная точка функции
(
)
yxfz ,
=
, причем эта функция
дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки М, тогда все ее
вторые частные производные непрерывны в точке М. Введем обозначения:
()
00
, yxzA
xx
′′
= ,
()
00
, yxzB
yy
′′
= ,
(
)
00
, yxzC
xy
′
′
=
,
2
C
A
B
D
−
=
.
Тогда:
1)
если 0>D , то функция
(
)
yxfz ,
=
имеет в точке
()
00
, yxM
экстремум,
а именно – максимум, если 0
<
(0
<
C
), и минимум, если 0>
(0>
C
);

Страницы