Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных: типовой расчет по высшей математике. Анкилов А.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

-13-
Критерий Сильвестра:
1) для того чтобы выполнялось неравенство
(
)
0,,
000
2
>zyxUd при любых
значениях dzdydx ,,, не равных нулю одновременно, необходимо и достаточно,
чтобы:
0Д
1
>
′′
=
xx
U
, 0
2
>
′′′′
′
′
′′
=∆
yyxy
xyxx
UU
UU
,
0
3
>
′′′′′′
′′′′′′
′′′′′′
=∆
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
UUU
UUU
UUU
;
2) для того чтобы выполнялось неравенство
(
)
0,,,
000
2
<zyxUd при любых
значениях dzdydx ,,, не равных нулю одновременно, необходимо и достаточно,
чтобы:
0
1
<
′′
=∆
xx
U , 0
2
>
′′′′
′
′
′′
=∆
yyxy
xyxx
UU
UU
,
0
3
<
′′′′′′
′′′′′′
′′′′′′
=∆
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
UUU
UUU
UUU
(следует помнить, что все производные здесь вычислены в точке
()
000
,, zyxM ).
В данной задаче
0,4
1
>=∆ 08
32
24
2
>=
−
−
=∆ ,
032
620
232
024
3
>=
−
−−
−
=∆ .
Согласно критерию Сильвестра,
.0
2
>Ud Значит, точка
()
1;1;5,0M является
точкой минимума функции U. Значение функции в точке минимума равно:
.4
min
=
U
ЗАДАЧА № 10.1. Найти точки условного экстремума функции 1
−
+
= y
x
z ,
если уравнение связи есть:
06
33
=+− xxyy
.
Решение. Согласно методу множителей Лагранжа составляем функцию
Лагранжа:
()
(
)
(
)
yxFyxfyxLL ,,,
λ
+
=
= ,
где
()
yxfz ,= – уравнения функции,
(
)
0,
=
yxF – уравнение связи,
λ – некоторый параметр, который называется множителем Лагранжа.
В данном случае
(
)
(
)
33
6,,1, xxyyyxFyxyxf +−=−+=
,
поэтому функция Лагранжа имеет вид
(
)
33
61 xxyyyxL +−+−+=
λ
(
)
const
=
λ
.
Необходимое условие
экстремума состоит в следующем: если
дифференцируемая функция z имеет в точке
(
)
00
, yxM условный экстремум, то

Страницы