Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных: типовой расчет по высшей математике. Анкилов А.В - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

-14-
()
0,
00
=
′
yxL
x
,
()
0,
00
=
′
yxL
y
. Составляем систему из уравнений
()
0,
00
=
′
yxL
x
,
()
0,
00
=
′
yxL
y
,
()
0, =yxF :
(
)
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+−
=−+=
′
=+−+=
′
.06
,0631
,0361
33
2
2
xxyy
xyL
xyL
y
x
λ
λ
(3.11)
Из первого уравнения системы выражаем
λ
, затем из второго уравнения
системы выражаем
λ
и приравниваем полученные значения друг к другу. В
результате получаем:
xyxy 63
1
36
1
22
−
=
+−
, отсюда
xyxy 6336
22
−=+− или
(
)
22
366 xyyx −=− или
()
(
)
(
)
xyxyyx
+
−
=
−2. Рассмотрим два случая:
1) 0=− y
x
, тогда y
x
= подставляем в уравнение связи и получаем:
062
23
=−
x
x
или
()
032
2
=−xx и получаем два корня: 0
1
=x , 3
2
=x , тогда
0
1
=y , 3
2
=y . Значения 0
11
=
= yx не являются решениями системы (3.11).
Значения 3
22
== yx являются решениями системы (3.11) при
9
1
−=
λ
.
2) ,2
x
y +=− выражаем y через x:
x
y
−
−
=
2 и подставляем в уравнение
связи. Получаем
(
)
(
)
0262
3
3
=++++− xxxx или
(
)
06126128
3232
=++++++− xxxxxx , или 08
=
−
, что неверно. Решений нет.
Вывод: система (3.11) имеет единственное решение 3=
=
y
x
,
9
1
−=λ .
Достаточное условие
условного экстремума состоит в следующем: пусть
функции
()
yxf ,
и
()
yxF ,
имеют непрерывные частные производные 2-го
порядка в окрестности точки
(
)
00
, yxM , и точка
(
)
00
, yxM удовлетворяет
условиям:
()
0,
00
=
′
yxL
x
,
()
0,
00
=
′
yxL
y
,
(
)
0,
00
=
yxF
. Если
()
0,
00
2
>yxLd
(
()
0,
00
2
<yxLd
) при любых значениях dydx,, не равных нулю одновременно, и
таких, что
() ()
0,,
0000
=
′
+
′
dyyxFdxyxF
yx
, то функция
(
)
yxfz ,
=
имеет в точке
()
00
, yxM условный минимум (условный максимум); если же
(
)
00
2
, yxLd
принимает значения разных знаков в зависимости от значений dydx,, то
условного экстремума в точке М нет.
Критерий Сильвестра:
1) 0
2
>
L
d для любых значений dydx,, не равных нулю одновременно,
тогда и только тогда, когда выполняются неравенства:
0
1
>
′
′
=∆
xx
L
, 0
2
>
′′′′
′
′
′
′
=∆
yyxy
xyxx
LL
LL
.

Страницы