Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных: типовой расчет по высшей математике. Анкилов А.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

-16-
Замечание.
В данном случае переменная y легко выражается через x из
уравнения связи:
3
21 x
y
−
= ; подставив
3
21 x
y
−
= в уравнение функции
22
yxz −= , мы получаем функцию одной переменной x. Данный простой
пример приведен только для иллюстрации метода множителей Лагранжа. На
практике уравнение связи
()
0,
=
yxF задает неявную функцию y переменной x
(т. е. обычно из уравнения связи переменную нельзя выразить явно через x –
смотри, например, задачу № 10.1).
ЗАДАЧА № 11. Найти точки условного экстремума функции
x
y
z
U
= при
условиях: 42
=
−+ zy
x
, 823
=
+
− zy
x
.
Решение. Имеем функцию трех переменных
(
)
zyxfU ,,
=
и два уравнения
связи
()
0,,
1
=zyxF ,
()
0,,
2
=
zyxF , где
x
y
z
f
=
, 42
1
−
−
+= zyxF ,
823
2
−+−= zyxF . Составляем функцию Лагранжа:
(
)( )
(
)
(
)
()( )
82342
,,,,,,,,
21
2211
−+−+−−++=
=
+
+
==
zyxzyxxyz
zyxFzyxFzyxfzyxLL
λλ
λ
λ
(
21
, λλ – множители Лагранжа) и выпишем систему уравнений для определения
параметров
21
, λλ
и координат возможных точек экстремума:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=−+−
=−−+
=+−=
′
=−+=
′
=++=
′
.0823
,042
,02
,03
,02
21
21
21
zyx
zyx
xyL
xzL
yzL
z
y
x
λλ
λλ
λλ
(3.12)
Решим систему (3.12). Из 4 и 5 уравнений системы находим: 165 −=
x
y , тогда
207 −=
x
z . Из 1 уравнения системы (3.12) выразим
2
λ
и подставим во 2 и 3
уравнения системы: 073
1
=
++
λ
yzxy , 052
1
=
−
−
λ
yzyx . Исключив отсюда
1
λ
,
получаем 075 =++ y
xy
xz
. Подставляя в это уравнение 165
−
=
x
y ,
207 −=
x
z , после преобразований будем иметь уравнение:
0320424105
2
=
+
−
x
x
,
его корни приблизительно равны
033,3
1
=
x
,
005,1
2
=
x
. Тогда
835,0
1
−
=y
,
975,10
2
−=y , 231,1
1
=z , 965,12
2
−=z . В результате получили две стационарные
точки:
()
231,1;835,0;033,3
1
−M при 219,1,095,0
21
=
−
=
λ
λ
и
()
965,12;975,10;005,1
2
−−M при 046,24,122,59
21
−
=
−
=
λ
λ
.
Второй дифференциал функции
(
)
zyxLL ,,
=
равен:
.222
222
2222
xdydzydxdzzdxdy
dydzLdxdzLdxdyLdzLdyLdxLLd
yzxzxyzzyyxx
++=
=
′′
+
′′
+
′′
+
′′
+
′′
+
′′
=

Страницы