Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных: типовой расчет по высшей математике. Анкилов А.В - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

-17-
Дифференциалы dx и dy связаны равенствами:
() () ()
0
111
=
′
+
′
+
′
dzFdyFdxF
zyx
,
() () ()
0
222
=
′
+
′
+
′
dzFdyFdxF
zyx
(здесь все частные производные функций
1
F и
2
F вычислены в стационарной
точке). В данном случае:
⎩
⎨
⎧
=+−
=
−
+
.023
,02
dzdydx
dzdydx
Отсюда dxdy 5= , dxdz 7= . Второй дифференциал функции L равен:
(
)
22
701410 dxxyzLd ++= .
1) В точке
()
231,1;835,0;033,3
1
−M : 0944,212
22
>= dxLd . Значит, функция
U имеет условный минимум в точке
1
M
.
2) В точке
()
965,12;975,10;005,1
2
−
−M : 095,212
22
<−= dxLd . Значит,
функция U имеет условный максимум в точке
2
M
.
ЗАДАЧА № 12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
23
362 yxyxz +−= в замкнутой области, ограниченной осью Oy, прямой y=2 и
параболой
2
2
x
y = (рис. 2).
Решение. Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее
значения, могут находиться как внутри области, так и на ее границе. Если
функция принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке
области, то в этой точке частные производные yxz
x
66
2
−=
′
и yxz
y
66
+
−=
′
равны нулю или не существуют.
Решив систему уравнений
⎩
⎨
⎧
=+−
=−
,066
,066
2
yx
yx
найдем две точки О(0; 0) и М(1; 1), в которых обе частные производные равны
нулю (стационарные точки). Первая из них принадлежит границе области,
а вторая лежит внутри области.
Рис. 2. Критические и угловые точки области
На отрезке ОА имеем x=0, поэтому на этом отрезке
2
3yz =
()
20 ≤≤ y есть
возрастающая функция одной переменной y: наибольшее и наименьшее
значения она принимает на концах отрезка ОА.

Страницы