ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
-18-
На отрезке АВ имеем y=2, поэтому на отрезке АВ функция
1212223262
323
+
−
=
⋅
+⋅−=
x
x
x
x
z
(
)
20
≤
≤
x
представляет собой функцию одной переменной x: ее наибольшее и
наименьшее значения находятся среди ее значений в критических точках и на
концах отрезка. Находим производную:
126
2
−
=
′
x
z . Решаем уравнение 0
=
′
z
или
0126
2
=−
x
и находим 2
±
=
x
. Внутри отрезка
(
)
20 ≤
≤
x имеется лишь
одна критическая точка
2=
x
; соответствующей точкой отрезка АВ является
точка
(
)
2;2Q . Итак, из всех значений функции z на отрезке АВ наибольшее и
наименьшее находятся среди ее значений в точках A,Q,B.
На дуге ОВ параболы
2
2
x
y =
имеем:
2
22
3
2
3
2
62
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=
xx
xxz , т. е.
34
4
3
xxz −=
()
20 ≤≤ x . Решаем уравнение 033
23
=
−
=
′
x
x
z или
(
)
01
2
=−xx , и находим
его корни x=0, x=1. Таким образом, из всех значений функции z на дуге ОВ
наибольшее и наименьшее находятся среди ее значений в точках
()()( )
2/1;1,2;2,00; PBO . Следовательно, наибольшее и наименьшее значения
функции
23
362 yxyxz +−= в данной замкнутой области находятся среди ее
значений в точках O, A, Q, B, P, M, т. е. среди значений
(
)
000; =z ,
()
122;0
=
z ,
(
)
28122;2 −=z ,
(
)
42;2 =z ,
(
)
4/12/1;1
−
=
z ,
(
)
11;1
−
=
z .
Наибольшее значение из них равно 12, а наименьшее значение из них
равно –1. Они являются наибольшим и соответственно наименьшим
значениями данной функции в данной замкнутой области.
ЗАДАЧА № 13. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
xyxz −+=
22
3
в области, ограниченной кривой
1
22
=+ yx
(
1
22
≤+ yx
).
Решение. Составляем систему уравнений:
⎩
⎨
⎧
==
′
=−=
′
,06
,012
yz
xz
y
x
и решаем ее, находим стационарную точку
(
)
0;5,0M
. Убеждаемся в том, что
эта точка принадлежит заданной области (стационарные точки, не лежащие в
заданной области, следует отбрасывать).
Находим стационарные точки функции на границе области. Составляем
функцию Лагранжа:
(
)
2222
3 yxxyxL ++−+=
λ
. Используя необходимые
условия существования экстремума, получим систему уравнений:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+
=+=
′
=+−=
′
.1
,026
,0212
22
yx
yyL
xxL
y
x
λ
λ
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
