ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
-15-
2) 0
2
<
L
d для любых значений dydx,, не равных нулю одновременно,
тогда и только тогда, когда выполняются неравенства:
0
1
<
′′
=∆
xx
L
, 0
2
>
′′′′
′
′
′
′
=∆
yyxy
xyxx
LL
LL
.
Продолжаем решение задачи. Находим:
λ
xL
xx
6
=
′
′
,
λ
6−=
′
′
xy
L ,
λ
yL
yy
6
=
′′
.
Находим дифференциал 2-го порядка функции L в точке М(3; 3) при
9
1
−=
λ
:
() () () ()
22222
2
3
4
23,33,323,33,3 dydxdydxdyLdxdyLdxLLd
yyxyxx
−+−=
′′
+
′′
+
′′
= .
Используем критерий Сильвестра:
02
1
<−=∆ ,
0
9
32
232
322
2
>=
−
−
=∆
.
Значит, 0
2
<
L
d для любых значений dx, dy, не равных нулю одновременно.
Вывод: функция 1−+
=
y
x
z имеет в точке М(3; 3) условный минимум.
Значение функции в точке условного минимума есть 5
min
=
z .
ЗАДАЧА № 10.2. Найти точки условного экстремума функции
22
yxz −= ,
если уравнение связи есть 132
=
+ y
x
.
Решение. Функция Лагранжа имеет вид
()
132
22
−++−= yxyxL
λ
.
Составляем систему:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+−=
′
=+=
′
132
,032
,022
yx
yL
xL
y
x
λ
λ
и решаем ее. Из первого уравнения системы находим
λ
−=
x
, из второго
уравнения находим
2
3
λ
=y
, подставляем x и y в третье уравнение системы:
1
2
9
2 =+−
λ
λ
, откуда
5
2
=
λ
,
5
2
−=x ,
5
3
=y . Находим
.222
22222
dydxdyLdxdyLdxLLd
yyxyxx
−=
′′
+
′′
+
′′
=
Дифференцируя уравнение связи, получаем 032
=
+
dydx , откуда dxdy
3
2
−= .
Подставляем dy в выражение для
L
d
2
, получаем: 0
9
10
22
>= dxLd . Значит,
функция z имеет условный минимум при
5
2
−=x ,
5
3
=y .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- …
- следующая ›
- последняя »
