Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных: типовой расчет по высшей математике. Анкилов А.В - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

-12-
2)
если 0<D , то экстремума в точке
(
)
00
, yxM нет;
3)
если 0=D , то требуется дополнительное исследование.
Вычислим вторые производные данной функции:
()
20;1
=
′′
=
xx
zA
,
()
20;1 =
′′
=
yy
zB ,
()
10;1 =
′′
=
xy
zC . Найдем 03
2
>
=
−
=
C
A
B
D
, и так как 0>
A
,
то можно сделать вывод, что в точке М(1; 0) функция yxyxyxz −−++= 2
22
имеет минимум. Значение функции в точке минимума равно:
.1
min
−=z
ЗАДАЧА №9. Найти точки экстремума функции трех переменных:
zy
z
x
y
xU
2
4
22
+++=
( 0,0,0 >>> zy
x
).
Решение. Найдем стационарные точки
заданной функции U. Для этого
составим систему уравнений:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=−=
′
=−=
′
=−=
′
,0
22
,0
4
2
,0
4
1
2
2
2
2
2
z
y
z
U
y
z
x
y
U
x
y
U
z
y
x
решая которую получим ;5,0
0
=x ;1
0
=
y 1
0
=
z . Находим частные производные
второго порядка:
,
2
3
2
x
y
U
xx
=
′′
,
2
2
1
3
2
y
z
x
U
yy
+=
′′
,
42
3
z
y
U
zz
+=
′′
,
2
2
x
y
U
xy
−=
′′
,0
=
′′
xz
U
2
2
y
z
U
yz
−=
′′
и вычисляем их значения в стационарной точке
()
1;1;5,0M :
4=
′′
xx
U
, 3=
′′
yy
U ,
6=
′
′
zz
U
, ,2
−
=
′′
xy
U
,0
=
′
′
xz
U
.2
−
=
′
′
yz
U Находим дифференциал
второго порядка функции U в стационарной точке
(
)
1;1;5,0M
:
.44634
222
222
2222
dydzdxdydzdydx
dydzUdxdzUdxdyUdzUdyUdxUUd
yzxzxyzzyyxx
−−++=
=
′′
+
′′
+
′′
+
′′
+
′′
+
′′
=
Используем достаточное условие
экстремума, состоящее в следующем:
Пусть функция
()
zyxfU ,,= определена и имеет непрерывные частные
производные 2-го порядка в окрестности точки
(
)
000
,, zyxM
, и пусть точка М
является стационарной точкой функции U. Если
()
0,,
000
2
>zyxUd
(
()
0,,
000
2
<zyxUd
) при любых значениях dzdydx ,,, не равных нулю
одновременно, то точка М является точкой минимума (максимума) функции U;
если выражение
()
,,,
000
2
zyxUd
принимает значения разных знаков в
зависимости от значений dzdydx ,,, то экстремума в точке М нет.

Страницы