Решение линейных задач математической физики на основе методов взвешенных невязок. Анкилов А.В - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

8
1. Математическое моделирование физических задач
1.1. Вывод уравнений одномерной теплопроводности
Пусть дано материальное тело, расположенное между точками
a
x
и
b
x
оси O
x
, продольный размер которого значительно превосходит размеры
поперечного сечения, например, тонкий стержень, длинный трубопровод и т. д.
В дальнейшем будем называть это тело стержнем. Будем считать площадь
)(
x
S
поперечного сечения (перпендикулярного оси
O
x
) настолько малой, что всем
точкам одного сечения в момент времени
t
можно приписать одну и ту же
температуру
),(
t
x
u . Будем считать, что стержень теплоизолирован вдоль
боковой поверхности, а внутри стержня нет источников или стоков
(поглотителей) тепла.
Рассмотрим элемент стержня между его сечениями с абсциссами
x
и
dx
x
. Найдем количество тепла, которое накапливается в элементе за время
d
t
. Согласно закону Фурье интенсивность ),(
t
x
q теплового потока в сечении
x
определяется выражением:
x
txu
xKtxq
),(
)(),(,
где )(
x
– коэффициент теплопроводности )0)((
x
. Тогда разность Qd
между количеством тепла, вошедшим в элемент через сечение
x
и вышедшим
через сечение dx
x
за время d
t
, будет равна:
dt
x
tdxxu
dxxSdxxKdt
x
txu
xSxKQd
),(
)()(
),(
)()(.
Используя формулу Тейлора первого порядка с остаточным членом в форме
Пеано для функций ),( ),( ),( tdxxudxxSdxxK
x
, имеем

).(
),(
)()()(
),(),(
)()()()()()(
),(
)()(
2
2
dxdtodxdt
x
tx
xSxK
x
dtdxodx
x
txu
x
txu
dxodxxSxSdxodxxKxKdt
x
txu
xSxKQd
(1.1)
Напомним, что символом )(
x
o обозначается величина бесконечно малая более
высокого порядка, чем
x
.
С другой стороны, за счет притока тепла температура в элементе
изменяется, и количество тепла dQ , поглощаемое элементом за время d
t
, равно

dxx
x
dvtvudttvuvvSvCdQ ,),(),()()()(
где )(
x
C
– теплоемкость; )(
x
– объемная плотность вещества стержня

0)( ,0)( xxC
.

Страницы