Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

122
2.
Если 1q , то
q
aqa
S
n
n
n
n
1
limlim
, т. е. ряд расходится.
3.
При 1q ряд (5.3) принимает вид: ......
aaa . В этом случае naS
n
,

n
n
Slim , т. е. ряд расходится.
4.
При 1q ряд (5.3) принимает вид: ...
aaaa . Для него 0
n
S при n четном
и aS
n
при n нечетном. Следовательно,
n
n
S
lim не существует и ряд расходится.
Таким образом, ряд (5.3) является сходящимся при
1q и расходящимся при 1q .
Теорема 5.1.1. (Необходимый признак сходимости). Если ряд
1n
n
u сходится, то
0lim
n
n
u
.
Доказательство. По условию ряд
1n
n
u сходится. Обозначим через S его сумму.
Рассмотрим частичные суммы ряда
nnn
uuuuS
121
... и
1211
...
nn
uuuS .
Очевидно,
1
nnn
SSu . Так как SS
n
и SS
n
1
при
n , то
0limlim)(limlim
11
SSSSSSu
n
n
n
n
nn
n
n
n
.
Заметим, что условие
0lim
n
n
u
является необходимым, но не достаточным условием
сходимости ряда. Например, так называемый гармонический ряд
1
1
n
n
расходится (это будет
установлено ниже), хотя
0
1
lim
n
n
.
Из необходимого признака сходимости следует, что если
0lim
n
n
u
или
n
n
u
lim
не
существует, то ряд
1n
n
u расходится.
Пример 5.1.4. Рассмотрим следующие ряды:
1.
1
1
n
n
n
.
2.
1
1
)1(
n
n
n
n
.
Оба ряда расходятся. В первом случае
01
1
lim
n
n
n
, во втором случае
n
n
n
n
1
)1(lim
не существует.
5.1.2. Свойства сходящихся рядов
Приведем основные свойства сходящихся числовых рядов.
1.
Если ряд
1n
n
u
сходится и его сумма равна S, то и ряд
1n
n
сu
, где с – некоторое
число, также сходится, и его сумма равна
Sс
, т. е.
11 n
n
n
n
uccu .

Страницы