Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

123
Действительно, пусть
n
S – частичная сумма ряда
1n
n
u , а
n
– частичная сумма ряда
1n
n
сu . Тогда
nnnn
cSuuuccucucu
)...(...
2121
. Отсюда, переходя к пределу
при
n , получаем ScSccS
n
n
n
n
n
n
limlimlim
, т. е. последовательность частичных
сумм

n
ряда
1n
n
сu сходится к сS . Следовательно,
11 n
n
n
n
ucScсu .
Аналогично доказывается свойство
2.
Если ряды
1n
n
u и
1n
n
сходятся и их суммы соответственно равны
и S , то и
ряды
1
)(
n
nn
u
сходятся и их суммы равны
S
, т. е.
111
)(
n
n
n
n
n
nn
uu
.
Таким образом, сходящиеся ряды можно почленно умножать на число, почленно
складывать и вычитать так же, как и конечные суммы.
Имеет место также свойство
3.
Если ряд
1n
n
u сходится, то сходится и любой его остаток )1(
1
ku
kn
n
. И обратно,
если какой-либо остаток ряда сходится, то и сам ряд сходится.
Из этого свойства следует, что отбрасывание или добавление конечного числа членов к
данному ряду не влияет на его сходимость.
5.1.3. Знакоположительные ряды
В теории рядов одним из важнейших является вопрос о сходимости ряда. Наиболее
просто он решается для рядов, члены которых положительны. Для краткости будем называть
также ряды знакоположительными.
Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливают путем
сравнения его с другим рядом, заведомо сходящимся или расходящимся. В основе такого
сравнения лежит следующая
Теорема 5.1.2. (Признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда
1n
n
u и
1n
n
и пусть ... ,2 ,1 , nu
nn
. Тогда
если сходится ряд
1n
n
, то сходится и ряд
1n
n
u ;
если расходится ряд
1n
n
u
, то расходится и ряд
1n
n
.
Доказательство.
1. Обозначим через
n
S и
n
соответственно частичные суммы рядов
1n
n
u и
1n
n
. Из
неравенства
nn
u
следует, что
nn
S
. По условию ряд
1n
n
сходится, т. е. существует
n
n
lim . Поскольку всякая сходящаяся последовательность является ограниченной, то

Страницы