Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

125
1.
Геометрический ряд
1
1
n
n
aq , который сходится при
1q
и расходится при
1q
(см. пример 5.1.3).
2.
Гармонический ряд
1
1
n
n
– расходится.
3.
Обобщенный гармонический ряд, или ряд Дирихле
1
1
n
n
. Сходится при 1
и
расходится при
1
(см. пример 5.1.10 ниже).
Существуют признаки сходимости рядов, позволяющие непосредственно судить о
сходимости (или расходимости) данного ряда, не сравнивая его с другим рядом.
Теорема 5.1.4. (Признак Даламбера). Пусть дан знакоположительный ряд
1n
n
u и
существует предел
l
u
u
n
n
n
1
lim
. Тогда при 1
l данный ряд сходится, а при l >1 –
расходится.
Замечание. При l = 1 необходимо дополнительное исследование ряда с применением
других признаков, так как в этом случае исследуемый ряд может как сходиться, так и
расходиться.
Пример 5.1.7. Ряд
1
!
10
n
n
n
сходится, так как
10
1
10
lim
10
!
)!1(
10
limlim
1
1
n
n
nu
u
n
n
n
n
n
n
n
.
Пример 5.1.8. Рассмотрим ряд
1
2
1
n
n
. Имеем
1
1
lim
)1(
limlim
2
2
2
1
n
n
n
n
u
u
nn
n
n
n
.
Согласно признаку Даламбера сделать заключение о сходимости или расходимости ряда
нельзя. Однако, как было показано ранее (см. пример 5.1.5), данный ряд сходится.
Теорема 5.1.5. (Радикальный признак Коши). Пусть дан знакоположительный ряд
1n
n
u и существует предел lu
n
n
n
lim . Тогда при l < 1 данный ряд сходится, а при l > 1 –
расходится. При l = 1 требуется дополнительное исследование.
Пример 5.1.9. Ряд
2
1
1
n
n
n
n
расходится, так как
1
1
1lim
1
limlim
e
nn
n
u
n
n
n
n
n
n
n
.
Признак Даламбера и радикальный признак Коши достаточно просты и удобны для
применения, но в случае l = 1 эти признаки не дают ответа на вопрос о сходимости ряда.
Более сильным (но и более сложным для применения) является следующий признак.
Теорема 5.1.6. (Интегральный признак Коши). Пусть )(xf – непрерывная,
положительная и невозрастающая функция при
1x
и пусть ... ,2 ,1 ,)( nunf
n
. Тогда,
если несобственный интеграл

1
)( dxxf сходится, то сходится и ряд
1n
n
u ; если же

1
)( dxxf
расходится, то ряд
1n
n
u
также расходится.

Страницы