Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

126
Пример 5.1.10. Исследуем сходимость обобщенного гармонического ряда
1
1
n
n
в
зависимости от значения параметра
.
При
0
поведение данного ряда выясним с помощью интегрального признака Коши.
Возьмем в качестве функции )(xf функцию
)1(
1
x
x
, которая удовлетворяет условиям
теоремы 5.1.6, и исследуем на сходимость несобственный интеграл

1
x
dx
. Имеем:


.10 если ,
1 если ,
1
1
1
1
limlimlim
1
11
1
1
1
b
dxx
x
dx
bb
b
b
x
b
Если
1
, то 


bx
x
dx
b
b
b
lnlimlnlim
1
1
. Таким образом, несобственный
интеграл

1
x
dx
при
1
сходится, а при 10
расходится. Следовательно, ряд
1
1
n
n
сходится при
1
и расходится при 10
.
При
0
данный ряд также расходится, так как 0
1
lim
n
n
, т. е. нарушается
необходимый признак сходимости (см. теорему 5.1.1).
В частности, при
2
– имеем сходящийся ряд
1
2
1
n
n
; при
1
– расходящийся
гармонический ряд
1
1
n
n
и т. д.
Заметим, что ни признак Даламбера, ни радикальный признак Коши не решают вопроса
о сходимости данного ряда, так как

.1
1
11
limlim
,11
1
limlim
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
u
n
n
u
u
5.1.4. Знакопеременные ряды
В этом пункте рассматриваются ряды с членами произвольных знаков. Такие ряды
называются знакопеременными рядами.
Прежде всего рассмотрим ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки – так
называемые знакочередующиеся ряды. Для определенности будем считать, что первый член
такого ряда положителен. Тогда знакочередующийся ряд можно записать в виде
1
11
321
)1(...)1(...
n
n
n
n
n
uuuuu , (5.4)
где 0
n
u .
Для знакочередующихся рядов имеет место следующий достаточный признак
сходимости.

Страницы