Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 128 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

128
Рассмотрим теперь произвольный знакопеременный ряд
......
321
1
n
n
n
uuuuu , (5.5)
где числа ... , ..., , , ,
321 n
uuuu могут быть как положительными, так и отрицательными, причем
расположение положительных и отрицательных членов в ряде произвольно. Наряду с (5.5)
рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда
......
321
1
n
n
n
uuuuu . (5.6)
Имеет место следующий признак сходимости.
Теорема 5.1.8. Если ряд (5.6) сходится, то сходится и ряд (5.5).
Эта теорема позволяет свести вопрос о сходимости знакопеременного ряда к
исследованию сходимости знакоположительного ряда.
Пример 5.1.12. Исследуем сходимость знакопеременного ряда
1
3
cos
n
n
n
.
Так как
1cos n , то
33
1cos
nn
n
. Ряд
1
3
1
n
n
сходится (см. пример 5.1.10),
следовательно, по признаку сравнения (теорема 5.1.2) ряд
1
3
cos
n
n
n
тоже сходится. Отсюда
по теореме 5.1.8 следует сходимость исходного ряда
1
3
cos
n
n
n
.
Сформулированный выше признак сходимости знакопеременного ряда (теорема 5.1.8)
является достаточным, но не необходимым, так как существуют знакопеременные ряды,
которые сходятся, а ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. Так,
например, ряд
1
1
)1(
n
n
n
согласно признаку Лейбница сходится (см. пример 5.1.11), а ряд
1
1
n
n
, составленный из абсолютных величин его членов, расходится (гармонический ряд).
Поэтому все сходящиеся ряды можно разделить на абсолютно и условно сходящиеся.
К абсолютно сходящимся рядам относятся сходящиеся ряды, для которых ряды,
составленные из абсолютных величин их членов, также сходятся. Например,
1
3
cos
n
n
n
–
абсолютно сходящийся ряд.
К условно сходящимся рядам относятся сходящиеся ряды, для которых ряды,
составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. Таковым, например, является
ряд
10 ,
)1(
1
1
n
n
n
.
Заметим, что деление сходящихся рядов на абсолютно и условно сходящиеся
существенно. Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при
любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.
Условно сходящиеся ряды этим свойством не обладают. Можно так переставить члены
условно сходящегося ряда, что
его сумма будет равна любому наперед заданному числу.
Для иллюстрации того, что сумма условно сходящегося ряда может меняться при
перестановке его членов, рассмотрим следующий пример.

Страницы