Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

129
Пример 5.1.13. Ряд
1
1
)1(
n
n
n
сходится условно. Переставим и сгруппируем члены
ряда следующим образом:
...
12
1
10
1
5
1
8
1
6
1
3
1
4
1
2
1
1
Перепишем ряд в виде
...
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
2
1
...
12
1
10
1
8
1
6
1
4
1
2
1
,
т. е. от перестановки членов ряда сумма его уменьшилась вдвое.
5.2. Степенные ряды
Решение многих задач математики и ее приложений значительно упрощается, если
рассматриваемые функции представлять как ряды, члены которых являются функциями
простейшего вида.
5.2.1. Степенной ряд. Область сходимости
Определение 5.2.1. Ряд вида
n
n
n
n
n
xaxaxaxaxaa
0
3
3
2
210
...... (5.7)
называется степенным рядом.
Числа ,...,...,,,
210 n
aaaa называются коэффициентами степенного ряда.
Придавая x различные числовые значения, будем получать числовые ряды, которые
могут оказаться сходящимися или расходящимися. Множество тех значений x, при которых
ряд (5.7) сходится, называется областью сходимости этого ряда. Это множество всегда не
пусто, так как любой степенной ряд сходится при x = 0.
Очевидно, что частичная
сумма степенного ряда
n
nn
xaxaaxS ...)(
10
является
функцией переменной x. Поэтому и сумма ряда S также является некоторой функцией
переменной x, определенной в области сходимости ряда:
n
n
n
xaxSS
0
)( (или
n
n
n
xaxf
0
)().
Сформулируем теорему, имеющую важное значение в теории степенных рядов и
касающуюся области сходимости степенного ряда.
Теорема 5.2.1 (Теорема Абеля). Если степенной ряд (5.7) сходится при )0(
00
xxx ,
то он сходится, и притом абсолютно для всех x, удовлетворяющих условию
0
xx
; если
ряд (5.7) расходится при
1
xx , то он расходится для всех x, удовлетворяющих условию
1
xx .
Терема Абеля утверждает, что если x
0
– точка сходимости степенного ряда, то во всех
точках интервала (
00
, xx
) этот ряд сходится абсолютно, а если x
1
– точка расходимости
степенного ряда, то во всех точках, расположенных вне отрезка [
11
, xx ], ряд расходится.

Страницы