Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

131
Пример 5.2.3. Найдем область сходимости ряда .
1
)3(
0
2
12
n
n
n
x
Для данного ряда последовательность
1n
n
a
a
не определена, так как все коэффициенты
ряда с четными номерами равны нулю. Обозначим через )(xU
n
n-й член данного ряда и
применим к ряду
0
2
12
0
1
3
)(
n
n
n
n
n
x
xU
признак Даламбера. Имеем:
2
2
2
2
12
2
2
32
1
3
1)1(
1
lim3
3
1
1)1(
3
lim
)(
)(
lim
x
n
n
x
x
n
n
x
xU
xU
n
n
n
n
n
n
n
.
Если
13
2
x , то на основании признака Даламбера и теоремы 5.1.8 исходный ряд
0
)(
n
n
xU сходится абсолютно. Если 13
2
x , то
xU
n 1
>

xU
n
для достаточно
больших n, следовательно, 0)(lim
xU
n
n
и ряд
0
)(
n
n
xU расходится.
Решая неравенство
13
2
x , получаем интервал сходимости (2,4). Исследуем
сходимость ряда на концах этого интервала. При
4
x получаем ряд
0
2
1
1
n
n
, который
сходится, так как
22
1
1
1
nn
, а
0
2
1
n
n
– сходящийся ряд. При
2x
получим ряд
0
2
0
2
12
1
1
1
)1(
nn
n
nn
, который также сходится.
Таким образом, отрезок [2, 4] – область сходимости данного степенного ряда.
В ряде случаев вместо признака Даламбера более удобным оказывается применение
радикального признака Коши. Соответствующая формула для вычисления радиуса
сходимости дается следующей теоремой.
Теорема 5.2.3. Если существует предел
la
n
n
n
lim
,
то радиус сходимости степенного ряда (5.7) или (5.8) находится по формуле
n
n
n
a
l
R
1
lim
1
. При этом 0R , если
l и
R
, если 0
l .
Пример 5.2.4. Рассмотрим ряд
n
n
n
x
1
. Здесь
n
n
n
a
1
, следовательно,
0
1
lim
1
limlim
n
n
al
n
n
n
n
n
n
n
, а тогда
R
.
Ряд сходится на всей числовой оси, т. е. при любом ),(
x .

Страницы