Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 133 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

133
0
)0( af ,
1
/
!1)0( af ,
2
//
!2)0( af ,
3
///
!3)0( af
,…,
n
n
anf !)0(
,…,
откуда находим
)0(
0
fa ,
!1
)0(
/
1
f
a ,
!2
)0(
//
2
f
a ,
!3
)0(
///
3
f
a ,…,

!
)0(
n
f
a
n
n
,…,
т. е.

!
)0(
n
f
a
n
n
, n = 0,1,2,….
Таким образом, коэффициенты ряда (5.10) определяются единственным образом
формулами (5.13), что и доказывает теорему.
Подставляя полученные выражения коэффициентов в (5.10), получаем
n
n
n
n
n
x
n
f
x
n
f
x
f
x
f
fxf
0
)()(
2
///
!
)0(
...
!
)0(
...
!2
)0(
!1
)0(
)0()(
.
Итак, если функция )(xf разлагается в степенной ряд, то этот ряд имеет вид
n
n
n
n
n
x
n
f
x
n
f
x
f
x
f
f
0
)()(
2
///
!
)0(
...
!
)0(
...
!2
)0(
!1
)0(
)0(
. (5.15)
Ряд (5.15) называется рядом Тейлора для функции )(xf .
Пусть теперь
)(xf
– произвольная бесконечно дифференцируемая в интервале
),( RR
функция. Для нее можно составить ряд (5.15). Установим, при каких условиях сумма ряда
(5.15) совпадает с функцией
)(xf
. Ответ на этот вопрос можно получить с помощью
формулы Тейлора
)(
!
)0(
...
!2
)0(
!1
)0(
)0()(
)(
2
///
xRx
n
f
x
f
x
f
fxf
n
n
n
, (5.16)
где
1
)1(
)!1(
)(
)(
n
n
n
x
n
xf
xR
, 10
.
Если обозначим через )(xS
n
частичную сумму ряда (5.15), то формулу (5.16) можно
записать в виде
)()()( xRxSxf
nn
.
Отсюда следует, что )()(lim xfxS
n
n
тогда и только тогда, когда 0)(lim
xR
n
n
. Таким
образом, доказана
Теорема 5.2.5. Пусть )(xf – бесконечно дифференцируемая функция в интервале
),( RR . Тогда для того, чтобы ряд Тейлора (5.15) сходился в ),( RR
и имел своей суммой
функцию
)(xf , необходимо и достаточно, чтобы остаточный член )(xR
n
формулы Тейлора
(5.16) стремился к нулю в указанном интервале при
n , т. е. 0)(lim
xR
n
n
для любого
),( RRx .

Страницы