Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

132
5.2.2. Разложение функций в степенные ряды
Сумма степенного ряда является функцией от переменной x:
n
n
n
xaxf
0
)(
. (5.10)
Если интервал сходимости этого ряда
),( RR
, то говорят, что функция
)(xf
разлагается в степенной ряд в интервале
),( RR
. Для получения разложений функций в
степенные ряды часто используются следующие свойства сходящихся степенных рядов:
1.
Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать, т. е.
если имеет место разложение (5.10), то для всех ),( RRx
1
1
/
)(
n
n
n
xnaxf . (5.11)
При этом радиусы сходимости рядов (5.10) и (5.11) совпадают.
Отсюда следует, что сумма степенного ряда является бесконечно дифференцируемой
функцией.
2.
Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно интегрировать, т. е. для
любых x
0
, ),( RRx из равенства (5.10) следует равенство
1
)(
1
0
1
0
0
n
xx
adttf
nn
x
x
n
n
.
В частности, при 0
0
x имеем
1
)(
1
0
0
n
x
adttf
n
x
n
n
. (5.12)
Радиусы сходимости рядов (5.10) и (5.12) совпадают.
Теорема 5.2.4. Если функция )(xf разлагается в степенной ряд (5.10) в интервале
),( RR , то это разложение единственно, а его коэффициенты находятся по формулам
!
)0(
n
f
a
n
n
, n = 0,1,2,…. (5.13)
Доказательство. По условию теоремы в интервале ),( RR
......)(
2
210
n
n
xaxaxaaxf
.
(5.14)
По свойству 1 степенной ряд (5.14) можно почленно дифференцировать в интервале ),( RR
любое число раз. Дифференцируя, получаем
......321)(
12
321
/
n
n
xnaxaxaaxf
,
...)1(...2312)(
2
32
//
n
n
xannxaaxf ,
...)2)(1(...234123)(
3
43
///
n
n
xannnxaaxf ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . .

...23...)1(!)(
1
xannanxf
nn
n
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Полагая в полученных равенствах и в равенстве (5.14) 0
x , имеем

Страницы