Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 130 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

130
Отсюда следует, что для любого степенного ряда (5.7) существует такое неотрицательное
число R, что при
Rx ряд (5.7) сходится, а при Rx – расходится. Вопрос о сходимости
ряда при
Rx подлежит дальнейшему исследованию, так как при этих значениях
переменной может иметь место как сходимость, так и расходимость ряда.
Число R называется радиусом сходимости, а интервал (–R, R) – интервалом
сходимости степенного ряда. Таким образом, областью сходимости степенного ряда
является один из следующих промежутков: (–R, R), [–R, R), (–R, R], [–R, R].
Отметим, что интервал сходимости некоторых рядов охватывает всю числовую прямую
(в этом случае пишут
R
), у других вырождается в точку ( 0
R ).
Наряду со степенными рядами вида (5.7) рассматривают также степенные ряды по
степеням
a
x
, т. е. ряды вида
n
n
n
n
n
axaaxaaxaaxaaxaa )(...)(...)()()(
0
3
3
2
210
. (5.8)
Подстановкой ta
x
ряд (5.8) приводится к ряду (5.7). Поэтому интервал сходимости ряда
(5.8) имеет вид (
Ra , Ra ).
На использовании признака Даламбера (теорема 5.1.4) основана следующая теорема,
дающая формулу вычисления радиуса сходимости степенного ряда.
Теорема 5.2.2. Если существует предел
l
a
a
n
n
n
1
lim
, (5.9)
то радиус сходимости степенного ряда (5.7) или (5.8) находится по формуле
1
lim
1
n
n
n
a
a
l
R
.
При этом
0R , если
l и
R
, если 0
l .
Пример 5.2.1. Найдем область сходимости ряда
1n
n
n
x
. Здесь
n
a
n
1
,
1
1
1
n
a
n
,
поэтому
1
1
1lim
1
limlim
1
nn
n
a
a
R
nn
n
n
n
.
Ряд сходится в интервале (–1;1). Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости,
т. е. в точках
1x
. При
1x
получаем расходящийся гармонический ряд
1
1
n
n
, а при
1x ряд
1
)1(
n
n
n
, который сходится по признаку Лейбница.
Таким образом, областью сходимости данного ряда является полуинтервал [–1, 1).
Пример 5.2.2. Ряд
n
n
xn!
1
расходится на всей числовой прямой, кроме точки
0
x
, так
как его радиус сходимости
0
1
1
lim
)!1(
!
limlim
1
nn
n
a
a
R
nn
n
n
n
.
Если предел (5.9) не существует, то для вычисления радиуса сходимости можно
попытаться применить признак Даламбера непосредственно к степенному ряду.

Страницы