ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
134
Все сказанное выше о разложении функций в степенные ряды относительно
переменной x переносится на степенные ряды по степеням
a
x
. В этом случае разложение
функции в ряд Тейлора имеет вид
n
n
n
ax
n
af
xf )(
!
)(
)(
0
)(
. (5.17)
Ряд (5.15), являющийся частным случаем ряда (5.17), часто называют рядом Маклорена
или рядом Тейлора-Маклорена.
Рассмотрим теперь разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена.
1.
x
exf )(.
Так как
xn
exf )(
)(
, n = 0,1,2,…, то 1)0(
)(
n
f , и ряд Маклорена (5.15) принимает вид
0
2
!
...
!
...
!2!1
1
n
nn
n
x
n
xxx
.
Можно показать, что
0)(lim
xR
n
n
при любом
),(
x
, где
1
)!1(
)(
n
x
n
x
n
e
xR
–
остаточный член формулы Тейлора для функции
x
exf )(. По теореме 5.2.5 при любом
x
R имеет место разложение
0
2
!
...
!
...
!2!1
1
n
nn
x
n
x
n
xxx
e
.
2.
xxf sin)( .
Вычисляя последовательно производные этой функции, замечаем их повторяемость:
xxf cos)(
/
, xxf sin)(
//
, xxf cos)(
///
,
xxf sin)(
4
,
)(cos)(
/5
xfxxf и т. д.
Следовательно,
xxf
k
sin)(
4
, xxf
k
cos)(
)14(
, xxf
k
sin)(
)24(
, xxf
k
cos)(
)34(
.
Отсюда находим
0)0()0(
)24(4
kk
ff , 1)0(
)14(
k
f , 1)0(
)34(
k
f . Составим по формуле
(5.15) для функции xxf sin)( ряд Маклорена
...
)!12(
)1(
...
!5!3
12
53
n
n
x
n
xx
x
.
Применяя теорему 5.2.5, можно показать, что на всей числовой оси этот ряд сходится и
имеет своей суммой функцию
xxf sin)(
, т. е. при любом
x
R имеет место разложение
)!12(
)1(...
)!12(
)1(
...
!5!3
sin
12
0
12
53
n
x
x
n
xx
xx
n
n
nn
n
.
3. xxf cos)( .
Разложение этой функции легко получается в результате почленного
дифференцирования ряда для
xsin :
...
!12
1
...
!5!3
sin
1253
n
xxx
xx
n
n
,
откуда
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- …
- следующая ›
- последняя »
