Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

136
функции
x
xsin
не является элементарной функцией. В то же время эта первообразная легко
выражается в виде степенного ряда. Действительно, поскольку
...,
53
sin
53
xx
xx то
...
!5!3
1
sin
42
xx
x
x
,
причем ряд сходится при любом х. Интегрируя его почленно от 0 до а , имеем
...
5!53!3
sin
53
0
aa
adx
x
x
a
.
С помощью этого равенства можно при любом а с любой степенью точности вычислить
данный интеграл.
Наконец, значительную роль играют степенные ряды в приближенных методах
решений дифференциальных уравнений.
5.3. Ряды Фурье
5.3.1. Тригонометрический ряд. Ортогональность основной
тригонометрической системы
Определение 5.3.1. Ряд вида:
...sincos...2sin2cossincos
2
2211
0
nxbnxaxbxaxbxa
a
nn
=

1
0
sincos
2
n
nn
nxbnxa
а
(5.21)
называется тригонометрическим рядом; а числа
,...,,...,,,,,
22110 nn
bababaa
–
коэффициентами тригонометрического ряда.
В отличие от степенного ряда, рассмотренного в подразделе 5.2, в тригонометрическом
ряде вместо простейших функций ,...,...,,,1
2 n
xxx взяты тригонометрические функции
,...,sin,cos,...,2sin,2cos,sin,cos,21 nxnxxxxx (5.22)
которые также хорошо изучены.
Система функций (5.22) называется основной тригонометрической системой.
Прежде
всего отметим, что все функции системы (5.22) являются периодическими с периодом
Т = 2π. Поэтому любая частичная сумма ряда (5.21) 2π – периодична (если все члены ряда не
меняются от замены x на x + 2π, то и сумма его не изменяется от этой замены). Отсюда
следует, что если ряд (5.21) сходится на отрезке –π, π , то он сходится на всей числовой
прямой, и его сумма, будучи пределом последовательности частичных сумм, является
периодической функцией с периодом Т = 2π. По этой причине тригонометрические ряды
особенно удобны при изучении периодических функций, описывающих различные
периодические процессы. Примерами периодических процессов служат колебательные и
вращательные движения различных деталей машин
и приборов, периодическое движение
небесных тел и элементарных частиц, акустические и электромагнитные колебания и др.

Страницы