Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 138 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

138
который можно интегрировать почленно, то это разложение единственно, а его
коэффициенты находятся по формулам:

,...,2,1,0,cos
1
nnxdxxfa
n
(5.28)

.,...3,2,1,sin
1
nnxdxxfb
n
(5.29)
Доказательство. Интегрируя (5.27) по отрезку –π, π, получаем

,sincos
2
1
0


n
nn
nxdxbnxdxadx
a
dxxf
откуда, учитывая (5.23), находим:

.
1
0
dxxfa
Для определения коэффициента
k
a при coskx (k – натуральное число) умножим
равенство (5.27) на coskx и проинтегрируем по x от –π до π. Тогда на основании формул
(5.23)–(5.26) получаем:

,cossincoscoscoscos
2
cos
2
1
0


kk
n
nn
akxdxanxdxkxbnxdxkxakxdx
a
kxdxxf
откуда

.,...3,2,1,cos
1
kkxdxxfa
k
Аналогично, умножая (5.27) на sinkx и интегрируя в пределах от –π до π, на основании
тех же формул получаем:

,sin
k
bkxdxxf
откуда находим

.,...3,2,1,sin
1
kkxdxxfb
k
Таким образом, коэффициенты
n
a и
n
b ряда (5.27) определяются единственным
образом формулами (5.28), (5.29), что и доказывает теорему.
Эта терема дает основание ввести следующее определение.
Определение 5.3.2. Пусть
xf – 2π-периодическая функция, интегрируемая на
отрезке –π, π. Тогда числа
n
a ,
n
b , найденные по формулам (5.28), (5.29), называются
коэффициентами Фурье, а тригонометрический ряд

Страницы