Высшая математика. Ч.2. Анкилов А.В - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

139

1
0
sincos
2
n
nn
nxbnxa
a
с этими коэффициентами называется рядом Фурье функции
xf .
Установим, при каких условиях ряд Фурье функции
xf сходится к этой функции.
Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.
Теорема 5.3.2. Пусть 2π-периодическая функция
xf и ее производная
xf
–
непрерывные функции на отрезке –π, π или же имеют на нем конечное число точек разрыва
первого рода. Тогда ряд Фурье функции
xf сходится на всей числовой прямой, причем его
сумма
 
xfxS , если x – точка непрерывности функции
xf . Если x
0
– точка разрыва

xf , то

)0()0(
2
1
)(
000
xfxfxS ,
где

xfxf
xx 0
0
0
lim0
,
xfxf
xx 0
0
0
lim0
.
Пример 5.3.1. Периодическая с периодом Т = 2π функции
xf определена следующим
образом:

x
x
xf
0при1
0при1
.
Эта функция (рис. 5.1) удовлетворяет условиям теоремы 5.3.2 и, следовательно, может
быть разложена в ряд Фурье. Найдем коэффициенты Фурье.
Рис. 5.1
По формуле (5.28) находим
 
,,...3,2,1,0
sin
sin
cos1cos1
1
cos
1
0
0
0
0

n
n
nx
n
nx
nxdxnxdxnxdxxfa
n
 
.011
11
0
0
0

dxdxdxxfa
x
xf
2
3
–1
0
1
–
–
2

Страницы